1から10までの数字が書かれた10枚のカードが入った箱からカードを取り出す問題です。 (1) 4枚のカードを同時に取り出すとき、取り出したカードの最大値が7となる確率を求めます。 (2) 1枚ずつカードを取り出し、箱に戻すことを4回繰り返すとき、取り出したカードの最大値が7となる確率を求めます。

1. 問題の内容

1から10までの数字が書かれた10枚のカードが入った箱からカードを取り出す問題です。

(1) 4枚のカードを同時に取り出すとき、取り出したカードの最大値が7となる確率を求めます。

(2) 1枚ずつカードを取り出し、箱に戻すことを4回繰り返すとき、取り出したカードの最大値が7となる確率を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、1から10までの数字が書かれた10枚のカードから4枚を同時に取り出す場合の総数を計算します。これは、組み合わせの数で表され、$_{10}C_4$ で計算できます。

$_{10}C_4 = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$

次に、4枚のカードの最大値が7となる場合の数を計算します。最大値が7ということは、7のカードは必ず含まれており、残りの3枚は1から6までの数字のカードから選ぶことになります。したがって、残りの3枚を選ぶ場合の数は $_{6}C_3$ で計算できます。

$_{6}C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

したがって、最大値が7となる確率は、

$\frac{20}{210} = \frac{2}{21}$

(2)

1枚ずつカードを取り出し、箱に戻すことを4回繰り返す場合、取り出したカードの数字の最大値が7となる確率を求めます。

まず、1回の試行で取り出したカードが7以下である確率は $\frac{7}{10}$ です。したがって、4回とも7以下の数字が出る確率は $(\frac{7}{10})^4$ です。

$(\frac{7}{10})^4 = \frac{2401}{10000}$

次に、4回とも6以下の数字が出る確率は $(\frac{6}{10})^4$ です。

$(\frac{6}{10})^4 = \frac{1296}{10000}$

最大値が7となる確率は、4回とも7以下の数字が出る確率から、4回とも6以下の数字が出る確率を引けば求められます。

$\frac{2401}{10000} - \frac{1296}{10000} = \frac{1105}{10000} = \frac{221}{2000}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{21}$

(2) $\frac{221}{2000}$