三角形ABCにおいて、$\frac{\sin A}{2} = \frac{\sin B}{5} = \frac{\sin C}{6}$が成り立つとき、最も小さい角の余弦の値を求めよ。さらに、AB=$9\sqrt{13}$のとき、三角形ABCの外接円の半径を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\frac{\sin A}{2} = \frac{\sin B}{5} = \frac{\sin C}{6}$が成り立つとき、最も小さい角の余弦の値を求めよ。さらに、AB=$9\sqrt{13}$のとき、三角形ABCの外接円の半径を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$である。したがって、$\sin A : \sin B : \sin C = 2 : 5 : 6$より、$a : b : c = 2 : 5 : 6$である。

$a = 2k, b = 5k, c = 6k$とおける。ただし、$k>0$である。

最も小さい角はAであるから、cos Aを求める。余弦定理より、

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{(5k)^2 + (6k)^2 - (2k)^2}{2(5k)(6k)} = \frac{25k^2 + 36k^2 - 4k^2}{60k^2} = \frac{57k^2}{60k^2} = \frac{19}{20}$

次に、AB=$9\sqrt{13}$、すなわちc=$9\sqrt{13}$であるとき、外接円の半径Rを求める。正弦定理より、$\frac{c}{\sin C} = 2R$である。

$\sin C = 6k/c$とおいたので、c = 6kである。したがって、$6k = 9\sqrt{13}$となり、$k = \frac{3\sqrt{13}}{2}$である。

したがって、$a = 2k = 3\sqrt{13}, b = 5k = \frac{15\sqrt{13}}{2}, c = 6k = 9\sqrt{13}$となる。

$\sin A : \sin B : \sin C = 2 : 5 : 6$より、$\sin C = 6x, \sin B = 5x, \sin A = 2x$とおける。

正弦定理から$\frac{c}{\sin C} = 2R$なので、$\frac{9\sqrt{13}}{6x} = 2R$となる。また、$a=2k=3\sqrt{13}$なので$\frac{3\sqrt{13}}{2x} = 2R$となる。よって$2R = \frac{3\sqrt{13}}{\sin A} = \frac{5\sqrt{13}}{\sin B} = \frac{9\sqrt{13}}{\sin C}$

$\frac{a}{\sin A} = 2R$ より、$R = \frac{a}{2 \sin A}$となる。

$\sin C = \sqrt{1 - \cos^2 C} = \sqrt{1 - (\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab})^2}$は、ちょっと大変なので、sin Aを直接出すことにする。

$R = \frac{c}{2 \sin C}$を使うことにする。$\sin C$を求める。

$\sin A : \sin B : \sin C = 2 : 5 : 6$ より、$\sin A = 2t, \sin B = 5t, \sin C = 6t$とおく。

ここで、$0 < 2t + 5t + 6t < \pi$だから、$0 < 13t < \pi$より、$0 < t < \pi/13$

また、$\sin^2A + \cos^2A = 1$ だから、$\sin^2C + \cos^2C = 1$より、$\sin C = 6t$ を使う。

$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{ (3\sqrt{13})^2 + (\frac{15\sqrt{13}}{2})^2 - (9\sqrt{13})^2}{2 \times 3\sqrt{13} \times \frac{15\sqrt{13}}{2} } = \frac{ 117 + \frac{2925}{4} - 1053}{45(13)} = \frac{468 + 2925 - 4212}{4(45)(13)} = \frac{-819}{4(45)(13)} = -\frac{63}{260}$

$(6t)^2 + (-\frac{63}{260})^2 = 1$

$36t^2 = 1 - (\frac{63}{260})^2 = \frac{260^2 - 63^2}{260^2} = \frac{(260 + 63)(260-63)}{260^2} = \frac{323 \times 197}{260^2} = \frac{63631}{67600}$

$t^2 = \frac{63631}{36 \times 67600} = \frac{63631}{2433600}$

$t = \sqrt{\frac{63631}{2433600}} = \frac{\sqrt{63631}}{1560}$

$\sin C = 6t = \frac{6\sqrt{63631}}{1560} = \frac{\sqrt{63631}}{260}$

$2R = \frac{9\sqrt{13}}{\frac{\sqrt{63631}}{260}} = \frac{9 \times 260 \sqrt{13}}{\sqrt{63631}} = \frac{2340\sqrt{13}}{\sqrt{63631}}$

$R = \frac{1170 \sqrt{13}}{\sqrt{63631}}$

$R = \frac{1170\sqrt{13} \sqrt{63631}}{63631}$

別解

$a=2k$, $b=5k$, $c=6k$

$c=9\sqrt{13}$より、$6k=9\sqrt{13}$なので、$k=\frac{3\sqrt{13}}{2}$.

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$より、

$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac{(2k)^2+(5k)^2-(6k)^2}{2(2k)(5k)} = \frac{4+25-36}{20} = \frac{-7}{20}$.

$\sin C = \sqrt{1-\cos^2 C} = \sqrt{1-\frac{49}{400}} = \sqrt{\frac{351}{400}} = \frac{\sqrt{351}}{20} = \frac{\sqrt{9 \times 39}}{20} = \frac{3\sqrt{39}}{20}$.

$2R = \frac{c}{\sin C} = \frac{9\sqrt{13}}{\frac{3\sqrt{39}}{20}} = \frac{9\sqrt{13} \times 20}{3\sqrt{39}} = \frac{180\sqrt{13}}{3\sqrt{39}} = \frac{60}{\sqrt{3}}$.

$R = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}$.

3. 最終的な答え

最も小さい角の余弦の値は$\frac{19}{20}$

外接円の半径は$10\sqrt{3}$