問題1：三角形ABCにおいて、$AB = \sqrt{6}$, $BC = 2$, $CA = \sqrt{3}+1$であるとき、内積 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ と $\angle BAC$ の大きさを求める。 問題2：ベクトル $\vec{a} = (1,1,2)$, $\vec{b} = (1,-1,1)$, $\vec{c} = (2,2,-1)$, $\vec{u} = p\vec{a} + q\vec{b} + \vec{c}$について以下の問いに答える。 (1) $\vec{u} \cdot \vec{a} = 0$ かつ $\vec{u} \cdot \vec{b} = -1$ のとき、$p, q$ の値を求める。 (2) $p, q$ が $\vec{u} \cdot \vec{a} = 0$ を満たしながら実数全体を動くとき、 $|\vec{u}|$ の最小値を求める。 問題3：座標空間上に3点O(0,0,0), A(1,2,0), B(0,4,2) を頂点とする三角形OABの面積Sを求める。

1. 問題の内容

問題1：三角形ABCにおいて、$AB = \sqrt{6}$, $BC = 2$, $CA = \sqrt{3}+1$であるとき、内積 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ と $\angle BAC$ の大きさを求める。

問題2：ベクトル $\vec{a} = (1,1,2)$, $\vec{b} = (1,-1,1)$, $\vec{c} = (2,2,-1)$, $\vec{u} = p\vec{a} + q\vec{b} + \vec{c}$について以下の問いに答える。

(1) $\vec{u} \cdot \vec{a} = 0$ かつ $\vec{u} \cdot \vec{b} = -1$ のとき、$p, q$ の値を求める。

(2) $p, q$ が $\vec{u} \cdot \vec{a} = 0$ を満たしながら実数全体を動くとき、 $|\vec{u}|$ の最小値を求める。

問題3：座標空間上に3点O(0,0,0), A(1,2,0), B(0,4,2) を頂点とする三角形OABの面積Sを求める。

2. 解き方の手順

問題1：

余弦定理より、$\cos \angle BAC = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2AB \cdot AC}$ である。

$AB^2 = 6$, $BC^2 = 4$, $AC^2 = (\sqrt{3}+1)^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}$ を代入すると、

$\cos \angle BAC = \frac{6 + 4 + 2\sqrt{3} - 4}{2\sqrt{6}(\sqrt{3}+1)} = \frac{6 + 2\sqrt{3}}{2\sqrt{6}(\sqrt{3}+1)} = \frac{3 + \sqrt{3}}{\sqrt{6}(\sqrt{3}+1)} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{6}(\sqrt{3}+1)} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

したがって、$\angle BAC = \frac{\pi}{4}$ (45度)

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |AB| |AC| \cos \angle BAC = \sqrt{6} (\sqrt{3}+1) \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{3}(\sqrt{3}+1) = 3 + \sqrt{3}$

問題2：

(1) $\vec{u} = p(1,1,2) + q(1,-1,1) + (2,2,-1) = (p+q+2, p-q+2, 2p+q-1)$

$\vec{u} \cdot \vec{a} = (p+q+2) + (p-q+2) + 2(2p+q-1) = p+q+2+p-q+2+4p+2q-2 = 6p+2q+2 = 0$

$3p+q+1=0$, よって、$q = -3p-1$

$\vec{u} \cdot \vec{b} = (p+q+2) - (p-q+2) + (2p+q-1) = p+q+2-p+q-2+2p+q-1 = 2p+3q-1 = -1$

$2p+3q=0$

$2p+3(-3p-1)=0$

$2p - 9p - 3 = 0$

$-7p = 3$

$p = -\frac{3}{7}$

$q = -3(-\frac{3}{7})-1 = \frac{9}{7} - 1 = \frac{2}{7}$

(2) $\vec{u} = (p+q+2, p-q+2, 2p+q-1)$

$\vec{u} \cdot \vec{a} = 6p+2q+2 = 0$ より $q = -3p-1$

$\vec{u} = (p-3p-1+2, p+3p+1+2, 2p-3p-1-1) = (-2p+1, 4p+3, -p-2)$

$|\vec{u}|^2 = (-2p+1)^2 + (4p+3)^2 + (-p-2)^2 = 4p^2-4p+1 + 16p^2+24p+9 + p^2+4p+4 = 21p^2+24p+14$

$|\vec{u}|^2 = 21(p^2+\frac{24}{21}p) + 14 = 21(p^2 + \frac{8}{7}p) + 14 = 21(p + \frac{4}{7})^2 - 21(\frac{16}{49}) + 14 = 21(p+\frac{4}{7})^2 - \frac{48}{7} + 14 = 21(p+\frac{4}{7})^2 + \frac{98-48}{7} = 21(p+\frac{4}{7})^2 + \frac{50}{7}$

$p=-\frac{4}{7}$ のとき最小値 $\frac{50}{7}$ をとる。

$|\vec{u}| = \sqrt{\frac{50}{7}} = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{7}} = \frac{5\sqrt{14}}{7}$

問題3：

$\overrightarrow{OA} = (1,2,0)$

$\overrightarrow{OB} = (0,4,2)$

$\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB} = (2 \cdot 2 - 0 \cdot 4, 0 \cdot 0 - 1 \cdot 2, 1 \cdot 4 - 2 \cdot 0) = (4, -2, 4)$

$|\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{16+4+16} = \sqrt{36} = 6$

$S = \frac{1}{2} |\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}| = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$

3. 最終的な答え

問題1：内積 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 3 + \sqrt{3}$ 、$\angle BAC = \frac{\pi}{4}$ (45度)

問題2：

(1) $p = -\frac{3}{7}, q = \frac{2}{7}$

(2) $|\vec{u}|$ の最小値は $\frac{5\sqrt{14}}{7}$

問題3：三角形OABの面積Sは $3$