半径2の円O1と半径$\sqrt{2}$の円O2が、2点A,Bで交わっている。2つの円の中心は互いに他の円の外部にある。$\angle AO_2B = \frac{\pi}{3}$のとき、次の値を求めよ。 (1) $\angle AO_1B$ (2) 円O1の短い方の弧APの長さ$l$ (3) 2つの円の重なる部分の面積S

1. 問題の内容

半径2の円O1と半径$\sqrt{2}$の円O2が、2点A,Bで交わっている。2つの円の中心は互いに他の円の外部にある。$\angle AO_2B = \frac{\pi}{3}$のとき、次の値を求めよ。

(1) $\angle AO_1B$

(2) 円O1の短い方の弧APの長さ$l$

(3) 2つの円の重なる部分の面積S

2. 解き方の手順

(1) まず、$AO_2=BO_2=\sqrt{2}$より、三角形$AO_2B$は二等辺三角形である。

$\angle AO_2B = \frac{\pi}{3}$ なので、$\angle O_2AB = \angle O_2BA = \frac{1}{2} (\pi - \frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{3}$となる。

つまり三角形$AO_2B$は正三角形である。

したがって、$AB = \sqrt{2}$。

次に、円$O_1$について、$AO_1 = BO_1 = 2$なので、三角形$AO_1B$は二等辺三角形である。

余弦定理より、$AB^2 = AO_1^2 + BO_1^2 - 2AO_1BO_1\cos{\angle AO_1B}$

$(\sqrt{2})^2 = 2^2 + 2^2 - 2 \times 2 \times 2 \cos{\angle AO_1B}$

$2 = 4 + 4 - 8\cos{\angle AO_1B}$

$8\cos{\angle AO_1B} = 6$

$\cos{\angle AO_1B} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

$\angle AO_1B = \arccos{\frac{3}{4}}$

(2) 短い方の弧APの長さを求める。$\angle AO_1B = \arccos{\frac{3}{4}}$より、短い方の弧APに対応する中心角は$\arccos{\frac{3}{4}}$である。したがって、弧APの長さ$l$は、

$l = 2 \times \arccos{\frac{3}{4}} = 2\arccos{\frac{3}{4}}$

(3) 2つの円の重なる部分の面積Sを求める。

円O1の扇形$AO_1B$の面積は$\frac{1}{2} r^2 \theta = \frac{1}{2} \times 2^2 \times \arccos{\frac{3}{4}} = 2\arccos{\frac{3}{4}}$

三角形$AO_1B$の面積は $\frac{1}{2} \times 2 \times 2 \times \sin(\arccos{\frac{3}{4}}) = 2 \sin(\arccos{\frac{3}{4}})$

円O2の扇形$AO_2B$の面積は$\frac{1}{2} r^2 \theta = \frac{1}{2} \times (\sqrt{2})^2 \times \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$

三角形$AO_2B$の面積は$\frac{1}{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{2} \times \sin(\frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、重なる部分の面積Sは、

$S = (2\arccos{\frac{3}{4}} - 2\sin(\arccos{\frac{3}{4}})) + (\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2})$

$\sin(\arccos{\frac{3}{4}}) = \sqrt{1 - (\frac{3}{4})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

よって、$S = 2\arccos{\frac{3}{4}} - \frac{\sqrt{7}}{2} + \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\angle AO_1B = \arccos{\frac{3}{4}}$

(2) $l = 2\arccos{\frac{3}{4}}$

(3) $S = 2\arccos{\frac{3}{4}} - \frac{\sqrt{7}}{2} + \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$