半径2の円O1と半径√2の円O2は、2点A, Bで交わっている。2つの円の中心は互いに他の円の外部にある。∠AO1B = π/3 のとき、次の値を求めよ。 (1) ∠AO2B (2) 円O1の弦ABの長さl (3) 2つの円の重なる部分の面積S

1. 問題の内容

半径2の円O1と半径√2の円O2は、2点A, Bで交わっている。2つの円の中心は互いに他の円の外部にある。∠AO1B = π/3 のとき、次の値を求めよ。

(1) ∠AO2B

(2) 円O1の弦ABの長さl

(3) 2つの円の重なる部分の面積S

2. 解き方の手順

(1) ∠AO2Bを求める。

円周角の定理より、∠AO1Bは中心角で、∠AO2Bも中心角である。ABに対する円周角はO1に関して$\frac{1}{2} \angle AO_1B$であり、O2に関して$\frac{1}{2} \angle AO_2B$である。

したがって、$\frac{1}{2} \angle AO_2B = \frac{1}{2} \angle AO_1B$ だから $\angle AO_2B = \frac{2\pi}{3}$。

(2) 弦ABの長さlを求める。

円O1において、中心O1から弦ABに垂線を下ろすと、ABを二等分する。

∠AO1B = π/3なので、∠AO1とABの中点をMとしたとき、∠AO1M = π/6となる。

AM = 2 * sin(π/6) = 2 * (1/2) = 1

したがって、AB = 2 * AM = 2

よって、$l = 2$

(3) 2つの円の重なる部分の面積Sを求める。

円O1の扇形AO1Bの面積は$\frac{1}{2} r^2 \theta = \frac{1}{2} (2^2) (\frac{\pi}{3}) = \frac{2\pi}{3}$。

三角形AO1Bの面積は$\frac{1}{2} (2)(2) \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} (4) (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \sqrt{3}$。

円O1の弓形の面積は$\frac{2\pi}{3} - \sqrt{3}$。

円O2の扇形AO2Bの面積は$\frac{1}{2} r^2 \theta = \frac{1}{2} (\sqrt{2}^2) (\frac{2\pi}{3}) = \frac{2\pi}{3}$。

三角形AO2Bの面積は$\frac{1}{2} (\sqrt{2})(\sqrt{2}) \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{1}{2} (2) (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$。

円O2の弓形の面積は$\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$。

したがって、重なる部分の面積は$(\frac{2\pi}{3} - \sqrt{3}) + (\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{4\pi}{3} - \frac{3\sqrt{3}}{2}$。

よって、$S = \frac{4\pi}{3} - \frac{3\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) ∠AO2B = $\frac{2\pi}{3}$

(2) l = 2

(3) S = $\frac{4\pi}{3} - \frac{3\sqrt{3}}{2}$