半径2の円O₁と半径√5の円O₂が2点A, Bで交わっており、それぞれの円の中心は互いに相手の円の外部にある。∠AO₂B = π/3 のとき、以下の問いに答えよ。 (1) ∠AO₁Bを求めよ。 (2) 円O₁の弧ABの長さを求めよ。 (3) 2つの円の重なる部分の面積Sを求めよ。

1. 問題の内容

半径2の円O₁と半径√5の円O₂が2点A, Bで交わっており、それぞれの円の中心は互いに相手の円の外部にある。∠AO₂B = π/3 のとき、以下の問いに答えよ。

(1) ∠AO₁Bを求めよ。

(2) 円O₁の弧ABの長さを求めよ。

(3) 2つの円の重なる部分の面積Sを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) ∠AO₁Bを求める。

O₁A = O₁B = 2, O₂A = O₂B = √5 である。

△AO₁O₂と△BO₁O₂は合同であるから、∠AO₁O₂ = ∠BO₁O₂。よって、O₁O₂は∠AO₁Bを二等分する。

同様に、O₁O₂は∠AO₂Bを二等分する。

したがって、∠AO₂O₁ = ∠BO₂O₁ = (π/3) / 2 = π/6。

△AO₁O₂において、余弦定理より、

$O_1O_2^2 = O_1A^2 + O_2A^2 - 2 \cdot O_1A \cdot O_2A \cdot \cos{\angle AO_1O_2}$

$O_1O_2^2 = 2^2 + (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \cos{\angle AO_1O_2}$

△AO₁O₂において、正弦定理より、

$\frac{AO_2}{\sin{\angle AO_1O_2}} = \frac{AO_1}{\sin{\angle AO_2O_1}}$

$\frac{\sqrt{5}}{\sin{\angle AO_1O_2}} = \frac{2}{\sin{\frac{\pi}{6}}}$

$\frac{\sqrt{5}}{\sin{\angle AO_1O_2}} = \frac{2}{\frac{1}{2}}$

$\sin{\angle AO_1O_2} = \frac{\sqrt{5}}{4}$

$\angle AO_1O_2 = \arcsin{\frac{\sqrt{5}}{4}}$

したがって、$\angle AO_1B = 2\arcsin{\frac{\sqrt{5}}{4}}$

(2) 円O₁の弧ABの長さを求める。

弧ABの長さlは、$l = O_1A \cdot \angle AO_1B = 2 \cdot 2\arcsin{\frac{\sqrt{5}}{4}} = 4\arcsin{\frac{\sqrt{5}}{4}}$

(3) 2つの円の重なる部分の面積Sを求める。

Sは、扇形O₁ABの面積から△O₁ABの面積を引いたものと、扇形O₂ABの面積から△O₂ABの面積を引いたものの和である。

扇形O₁ABの面積は$\frac{1}{2}O_1A^2 \angle AO_1B = \frac{1}{2}(2^2)(2\arcsin{\frac{\sqrt{5}}{4}}) = 4\arcsin{\frac{\sqrt{5}}{4}}$

△O₁ABの面積は$\frac{1}{2}O_1A \cdot O_1B \cdot \sin{\angle AO_1B} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sin{(2\arcsin{\frac{\sqrt{5}}{4}})} = 2\sin{(2\arcsin{\frac{\sqrt{5}}{4}})} = 2 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{4} \cdot \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{5}}{4})^2} = 4 \cdot \frac{\sqrt{5}}{4} \cdot \sqrt{\frac{11}{16}} = \frac{\sqrt{55}}{4}$

扇形O₂ABの面積は$\frac{1}{2}O_2A^2 \angle AO_2B = \frac{1}{2} (\sqrt{5})^2 (\frac{\pi}{3}) = \frac{5\pi}{6}$

△O₂ABの面積は$\frac{1}{2}O_2A \cdot O_2B \cdot \sin{\angle AO_2B} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \cdot \sin{\frac{\pi}{3}} = \frac{5}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{4}$

したがって、S = $(4\arcsin{\frac{\sqrt{5}}{4}} - \frac{\sqrt{55}}{4}) + (\frac{5\pi}{6} - \frac{5\sqrt{3}}{4})$

3. 最終的な答え

(1) ∠AO₁B = $2\arcsin{\frac{\sqrt{5}}{4}}$

(2) 弧ABの長さl = $4\arcsin{\frac{\sqrt{5}}{4}}$

(3) S = $4\arcsin{\frac{\sqrt{5}}{4}} - \frac{\sqrt{55}}{4} + \frac{5\pi}{6} - \frac{5\sqrt{3}}{4}$