半径2の円$O_1$と半径1の円$O_2$は2点A,Bで交わり、2つの円の中心は互いに他の円の外部にある。$\angle A O_1 B = \frac{\pi}{3}$ のとき、次の値を求めよ。 (1) $\angle AO_2 B$ (2) 円$O_1$における弦ABの長さL (3) 2つの円の重なる部分の面積S

1. 問題の内容

半径2の円$O_1$と半径1の円$O_2$は2点A,Bで交わり、2つの円の中心は互いに他の円の外部にある。$\angle A O_1 B = \frac{\pi}{3}$ のとき、次の値を求めよ。

(1) $\angle AO_2 B$

(2) 円$O_1$における弦ABの長さL

(3) 2つの円の重なる部分の面積S

2. 解き方の手順

(1) $\angle AO_2 B$を求める

$\angle AO_1 B = \frac{\pi}{3}$ なので、中心角は円周角の2倍の関係から、円$O_1$における弧ABに対する円周角$\angle AO_1B$は$\frac{\pi}{3}$である。

同様に、円$O_2$における弧ABに対する中心角を$\angle AO_2B$とする。

三角形$AO_1B$と三角形$AO_2B$はそれぞれ二等辺三角形である。

$O_1A = O_1B = 2$より、三角形$AO_1B$は二等辺三角形であり、$\angle AO_1B = \frac{\pi}{3}$なので正三角形である。

したがって、$AB = 2$となる。

$O_2A = O_2B = 1$より、三角形$AO_2B$は二等辺三角形である。

余弦定理より、$AB^2 = O_2A^2 + O_2B^2 - 2O_2A \cdot O_2B \cos \angle AO_2B$が成り立つので、$2^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cos \angle AO_2B$となる。

$4 = 2 - 2 \cos \angle AO_2B$より、$2 = -2 \cos \angle AO_2B$となり、$\cos \angle AO_2B = -1$となる。

よって、$\angle AO_2B = \pi$となる。

(2) 円$O_1$における弦ABの長さLを求める

三角形$AO_1B$は正三角形であるため、$AB = O_1A = O_1B = 2$。

したがって、$L = 2$である。

(3) 2つの円の重なる部分の面積Sを求める

円$O_1$における扇形$AO_1B$の面積は$\frac{1}{2} r^2 \theta = \frac{1}{2} \cdot 2^2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$である。

三角形$AO_1B$の面積は$\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sin \frac{\pi}{3} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$である。

円$O_1$における弓形の面積は$\frac{2\pi}{3} - \sqrt{3}$である。

円$O_2$における扇形$AO_2B$の面積は$\frac{1}{2} r^2 \theta = \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \pi = \frac{\pi}{2}$である。

三角形$AO_2B$は、$O_2A + O_2B = 1 + 1 = 2 = AB$であるため、点$O_2$は線分AB上にある。つまり、三角形$AO_2B$の面積は0である。

円$O_2$における弓形の面積は$\frac{\pi}{2}$である。

重なる部分の面積は、円$O_1$における弓形の面積と、円$O_2$における弓形の面積の和であるから、

$S = \frac{2\pi}{3} - \sqrt{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{4\pi + 3\pi}{6} - \sqrt{3} = \frac{7\pi}{6} - \sqrt{3}$となる。

3. 最終的な答え

(1) $\angle AO_2 B = \pi$

(2) L = 2

(3) $S = \frac{7\pi}{6} - \sqrt{3}$