三角形ABCにおいて、以下の2つの問題を解く。 (1) $b=3$, $c=4$, $A=120^\circ$のとき、三角形ABCの面積$S$を求める。 (2) $b=2\sqrt{2}$, $c=2$, $A=135^\circ$のとき、$a$の値を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、以下の2つの問題を解く。

(1) $b=3$, $c=4$, $A=120^\circ$のとき、三角形ABCの面積$S$を求める。

(2) $b=2\sqrt{2}$, $c=2$, $A=135^\circ$のとき、$a$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 三角形の面積の公式 $S = \frac{1}{2}bc\sin A$ を利用する。

$S = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 \times \sin 120^\circ$

$\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$

(2) 余弦定理 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ を利用する。

$a^2 = (2\sqrt{2})^2 + 2^2 - 2 \times 2\sqrt{2} \times 2 \times \cos 135^\circ$

$\cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$a^2 = 8 + 4 - 8\sqrt{2} \times (-\frac{\sqrt{2}}{2})$

$a^2 = 12 + 8 = 20$

$a > 0$ より、$a = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $S = 3\sqrt{3}$

(2) $a = 2\sqrt{5}$