3点A(1, 2), B(7, -1), C(9, 6)を頂点とする三角形について、 (i) 辺ABを2:1に内分する点Pの座標、辺ACを2:1に外分する点Qの座標、辺BCの中点Mの座標を求める。 (ii) 三角形ABCの重心Gの座標を求め、重心Gが線分AMを何対何に内分するかを求める。 (iii) 点Bから直線ACに引いた垂線の長さと、三角形ABCの面積を求める。

1. 問題の内容

3点A(1, 2), B(7, -1), C(9, 6)を頂点とする三角形について、

(i) 辺ABを2:1に内分する点Pの座標、辺ACを2:1に外分する点Qの座標、辺BCの中点Mの座標を求める。

(ii) 三角形ABCの重心Gの座標を求め、重心Gが線分AMを何対何に内分するかを求める。

(iii) 点Bから直線ACに引いた垂線の長さと、三角形ABCの面積を求める。

2. 解き方の手順

(i)

* 辺ABを2:1に内分する点Pの座標は、

$P = (\frac{2 \cdot 7 + 1 \cdot 1}{2+1}, \frac{2 \cdot (-1) + 1 \cdot 2}{2+1}) = (\frac{15}{3}, \frac{0}{3}) = (5, 0)$

* 辺ACを2:1に外分する点Qの座標は、

$Q = (\frac{2 \cdot 9 - 1 \cdot 1}{2-1}, \frac{2 \cdot 6 - 1 \cdot 2}{2-1}) = (\frac{17}{1}, \frac{10}{1}) = (17, 10)$

* 辺BCの中点Mの座標は、

$M = (\frac{7+9}{2}, \frac{-1+6}{2}) = (\frac{16}{2}, \frac{5}{2}) = (8, \frac{5}{2})$

(ii)

* 三角形ABCの重心Gの座標は、

$G = (\frac{1+7+9}{3}, \frac{2+(-1)+6}{3}) = (\frac{17}{3}, \frac{7}{3})$

* 重心Gは線分AMを2:1に内分する点である。

(iii)

* 直線ACの方程式は、傾きが$\frac{6-2}{9-1} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$で、点A(1,2)を通るので、

$y-2 = \frac{1}{2}(x-1)$

$2y-4 = x-1$

$x - 2y + 3 = 0$

* 点B(7, -1)から直線ACに引いた垂線の長さは、

$d = \frac{|7 - 2(-1) + 3|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{|7+2+3|}{\sqrt{1+4}} = \frac{12}{\sqrt{5}} = \frac{12\sqrt{5}}{5}$

* 三角形ABCの面積は、

$S = \frac{1}{2} |(1(-1-6) + 7(6-2) + 9(2-(-1)))| = \frac{1}{2} |(1(-7) + 7(4) + 9(3))| = \frac{1}{2} |(-7 + 28 + 27)| = \frac{1}{2} |48| = 24$

3. 最終的な答え

(i) P(5, 0), Q(17, 10), M(8, 5/2)

(ii) G(17/3, 7/3), 2:1

(iii) (12√5)/5, 24

38: 5

39: 0

40: 17

41:

42: 10

43:

44: 8

45: 5

46: 2

47: 17

48:

49: 3

50: 7

51: 3

52: 2

53: 1

54: 12

55:

56: 5

57: 5

58: 2

59: 4