半径1の円に外接する二等辺三角形$ABC$において、$AB=AC$、$\angle BAC = 2\theta$ とする。 (1) $AC$を$\theta$の三角関数を用いて表せ。 (2) $AC$が最小となるときの$\sin\theta$を求めよ。

1. 問題の内容

半径1の円に外接する二等辺三角形$ABC$において、$AB=AC$、$\angle BAC = 2\theta$ とする。

(1) $AC$を$\theta$の三角関数を用いて表せ。

(2) $AC$が最小となるときの$\sin\theta$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

二等辺三角形$ABC$において、頂角が$2\theta$なので、底角はそれぞれ$\frac{\pi - 2\theta}{2} = \frac{\pi}{2} - \theta$となる。

三角形$ABC$に内接する円の中心を$O$とすると、$\angle BAO = \angle CAO = \theta$である。

$O$から$AC$に下ろした垂線の足を$D$とすると、$OD=1$である。

直角三角形$ADO$において、$AO = \frac{OD}{\sin\theta} = \frac{1}{\sin\theta}$となる。

また、$AD = \frac{OD}{\tan\theta} = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$となる。

$AC = 2AD$より、

$AC = \frac{2\cos\theta}{\sin\theta} = 2\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$

したがって、$AC = \frac{2\cos\theta}{\sin\theta}$

(2)

$AC$が最小となる条件を考える。

$AC = \frac{2\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{2}{\tan\theta}$

$AC$が最小となるのは$\tan\theta$が最大となるときである。

しかし、$\theta$の範囲は$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$である。

$f(\theta) = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$とおくと、

$f'(\theta) = \frac{-\sin^2\theta - \cos^2\theta}{\sin^2\theta} = -\frac{1}{\sin^2\theta} < 0$

したがって、$f(\theta)$は単調減少関数である。

ここで、式を変形して

$AC = \frac{2\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{2(1-2\sin^2(\theta/2))}{2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)} = \frac{1-2\sin^2(\theta/2)}{\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)}$

$AC$を$\theta$で微分して、最小となる$\theta$を求める。

$AC = 2\cot\theta$

$\frac{d(AC)}{d\theta} = -\frac{2}{\sin^2\theta} = 0$となる$\theta$は存在しない。

$\theta$の定義域から、$AC$は$\theta$が大きくなるほど小さくなる。

ここで$\theta$は$\frac{\pi}{2}$に近いほど小さい。

しかし、$\theta=\frac{\pi}{2}$に近づくと、二等辺三角形が成立しなくなる。

二等辺三角形ABCが成立するためには、$0<\theta < \frac{\pi}{2}$である必要がある。

$AC = \frac{2\cos\theta}{\sin\theta}$について、相加相乗平均の関係を用いる。

$AC = \frac{2\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{2\cos\theta}{\sin\theta} \ge 2$となるのは、$\cos\theta=\sin\theta$のときなので、$\theta = \frac{\pi}{4}$のときである。

このとき、$AC = 2$となる。

このとき、$\sin\theta = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $AC = \frac{2\cos\theta}{\sin\theta}$

(2) $\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$