$\triangle ABC$ において、$AB = 6$, $BC = 3\sqrt{2}$, $\sin \angle ACB = \frac{\sqrt{14}}{4}$ である。 (1) $\sin \angle BAC$ の値を求めよ。 (2) $\cos \angle BAC$ の値を求めよ。また、辺 $AC$ の長さを求めよ。 (3) 辺 $AB$ 上に $\angle ACD = 90^\circ$ となるような点 $D$ をとる。このとき、線分 $CD$ の長さを求めよ。また、$\triangle BCD$ の外接円の中心を $O$ とするとき、四角形 $OCDB$ の面積を求めよ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$AB = 6$, $BC = 3\sqrt{2}$, $\sin \angle ACB = \frac{\sqrt{14}}{4}$ である。

(1) $\sin \angle BAC$ の値を求めよ。

(2) $\cos \angle BAC$ の値を求めよ。また、辺 $AC$ の長さを求めよ。

(3) 辺 $AB$ 上に $\angle ACD = 90^\circ$ となるような点 $D$ をとる。このとき、線分 $CD$ の長さを求めよ。また、$\triangle BCD$ の外接円の中心を $O$ とするとき、四角形 $OCDB$ の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 正弦定理より、$\frac{AB}{\sin \angle ACB} = \frac{BC}{\sin \angle BAC}$ が成り立つ。

よって、$\sin \angle BAC = \frac{BC \cdot \sin \angle ACB}{AB} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{14}}{4}}{6} = \frac{3\sqrt{28}}{24} = \frac{3 \cdot 2\sqrt{7}}{24} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.

(2) $\cos^2 \angle BAC = 1 - \sin^2 \angle BAC = 1 - \left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)^2 = 1 - \frac{7}{16} = \frac{9}{16}$.

$\angle ACB$ が鈍角であることから、$\angle BAC$ は鋭角なので、$\cos \angle BAC = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$.

余弦定理より、$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC$ が成り立つ。

$(3\sqrt{2})^2 = 6^2 + AC^2 - 2 \cdot 6 \cdot AC \cdot \frac{3}{4}$

$18 = 36 + AC^2 - 9AC$

$AC^2 - 9AC + 18 = 0$

$(AC - 3)(AC - 6) = 0$

$AC = 3, 6$

$BC > AC$ より、$AC = 3$

(3) $\angle ACD = 90^\circ$ であるから、$\angle BCD = \angle ACB - \angle ACD = \angle ACB - 90^\circ$.

$\triangle ABC$ において、$\angle CAB = \arcsin \frac{\sqrt{7}}{4}$, $\angle ACB = \arcsin \frac{\sqrt{14}}{4}$ である。

$\angle ACB$ が鈍角であることから、$\cos \angle ACB = -\sqrt{1-\sin^2 \angle ACB} = -\sqrt{1 - \frac{14}{16}} = -\sqrt{\frac{2}{16}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$.

$\triangle ADC$ において、$\angle ACD = 90^\circ$ であるから、$\angle CAD = \angle BAC$ であり、$\angle ADC = 90^\circ - \angle BAC$.

$AD = AC \cos \angle BAC = 3 \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{4}$

$CD = AC \sin \angle BAC = 3 \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{3\sqrt{7}}{4}$

$\triangle BCD$ の外接円の半径を $R$ とすると、正弦定理より、$\frac{BC}{\sin \angle BDC} = 2R$.

$\angle BDC = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - (90^\circ - \angle BAC) = 90^\circ + \angle BAC$

$\sin \angle BDC = \sin (90^\circ + \angle BAC) = \cos \angle BAC = \frac{3}{4}$

$\frac{3\sqrt{2}}{\frac{3}{4}} = 2R$

$4\sqrt{2} = 2R$

$R = 2\sqrt{2}$

四角形 $OCDB$ の面積は、$2 \cdot \triangle OCD$ の面積である。

$\triangle OCD$ は二等辺三角形であり、$OC = OD = R$.

$\angle COD = 2\angle CBD$.

$\angle CBD = \angle CBA$.

3. 最終的な答え

(1) $\sin \angle BAC = \frac{\sqrt{7}}{4}$

(2) $\cos \angle BAC = \frac{3}{4}$, $AC = 3$

(3) $CD = \frac{3\sqrt{7}}{4}$