問題4：正十角形について、以下の数を求めます。 (1) 対角線の本数 (2) 正十角形の頂点のうち3個を頂点とする三角形の個数 (3) (2)の三角形のうち、正十角形と1辺だけを共有する三角形の個数 問題5：異なる色の9個の玉を次のように分けるとき、分け方は何通りあるか。 (1) 4個, 3個, 2個の3つの組に分ける。 (2) A, B, Cの3つの組に3個ずつ分ける。 (3) 3個ずつの3つの組に分ける。

1. 問題の内容

問題4：正十角形について、以下の数を求めます。

(1) 対角線の本数

(2) 正十角形の頂点のうち3個を頂点とする三角形の個数

(3) (2)の三角形のうち、正十角形と1辺だけを共有する三角形の個数

問題5：異なる色の9個の玉を次のように分けるとき、分け方は何通りあるか。

(1) 4個, 3個, 2個の3つの組に分ける。

(2) A, B, Cの3つの組に3個ずつ分ける。

(3) 3個ずつの3つの組に分ける。

2. 解き方の手順

問題4：

(1) 対角線の本数：正n角形の対角線の本数は $n(n-3)/2$ で求められます。正十角形なので、$n=10$ を代入します。

(2) 正十角形の頂点のうち3個を頂点とする三角形の個数：これは10個の頂点から3個選ぶ組み合わせなので、$_{10}C_3$ で求められます。

(3) 正十角形と1辺だけを共有する三角形の個数：正十角形の辺は10本あります。1つの辺を選んだとき、その辺と1つの頂点を共有する三角形の個数は、選んだ辺の両端の頂点以外の頂点から1つを選ぶ数です。ただし、隣り合う頂点は選べないので、残り $10 - 4 = 6$ 個の頂点から1つを選べます。したがって、そのような三角形の個数は $10 \times 6 = 60$ 個です。

問題5：

(1) 4個, 3個, 2個の3つの組に分ける：9個から4個を選び、残りの5個から3個を選び、残りの2個から2個を選ぶ組み合わせを計算します。つまり、$_9C_4 \times _5C_3 \times _2C_2$ を計算します。

(2) A, B, Cの3つの組に3個ずつ分ける：9個から3個をAに、残りの6個から3個をBに、残りの3個から3個をCに分けるので、$_9C_3 \times _6C_3 \times _3C_3$ で求めます。

(3) 3個ずつの3つの組に分ける：(2)でA, B, Cの区別をなくすと、3!で割る必要があります。したがって、$\frac{_9C_3 \times _6C_3 \times _3C_3}{3!}$ で求めます。

数式：

問題4

(1) $10(10-3)/2 = 10 \times 7 / 2 = 35$

(2) $_{10}C_3 = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$

(3) $10 \times 6 = 60$

問題5

(1) $_9C_4 \times _5C_3 \times _2C_2 = \frac{9!}{4!5!} \times \frac{5!}{3!2!} \times \frac{2!}{2!0!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \times \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times 1 = 126 \times 10 \times 1 = 1260$

(2) $_9C_3 \times _6C_3 \times _3C_3 = \frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{3!0!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \times 1 = 84 \times 20 \times 1 = 1680$

(3) $\frac{_9C_3 \times _6C_3 \times _3C_3}{3!} = \frac{1680}{3 \times 2 \times 1} = \frac{1680}{6} = 280$

3. 最終的な答え

問題4：

(1) 35本

(2) 120個

(3) 60個

問題5：

(1) 1260通り

(2) 1680通り

(3) 280通り