点A(-3, 5)に関して、以下の直線について対称な点の座標を求めます。 (1) $y = x$ (2) $3x - 2y + 12 = 0$

1. 問題の内容

点A(-3, 5)に関して、以下の直線について対称な点の座標を求めます。

(1) $y = x$

(2) $3x - 2y + 12 = 0$

2. 解き方の手順

(1) 直線 $y=x$ に関して対称な点の座標は、元の点のx座標とy座標を入れ替えることで得られます。

(2) 直線 $3x - 2y + 12 = 0$ に関して対称な点の座標を求めるには、以下の手順に従います。

(i) 点A(-3, 5)と対称な点をP(a, b)とします。

(ii) 線分APの中点は、直線 $3x - 2y + 12 = 0$ 上にあります。APの中点の座標は $((-3+a)/2, (5+b)/2)$ です。この中点が直線上の点であることから、以下の式が成り立ちます。

$3((-3+a)/2) - 2((5+b)/2) + 12 = 0$

$3(-3+a) - 2(5+b) + 24 = 0$

$-9 + 3a - 10 - 2b + 24 = 0$

$3a - 2b + 5 = 0$ ...(1)

(iii) 直線APは、直線 $3x - 2y + 12 = 0$ と直交します。APの傾きは $(b-5)/(a+3)$ であり、与えられた直線の傾きは $3/2$ です。直交する2直線の傾きの積は-1なので、以下の式が成り立ちます。

$((b-5)/(a+3)) * (3/2) = -1$

$3(b-5) = -2(a+3)$

$3b - 15 = -2a - 6$

$2a + 3b - 9 = 0$ ...(2)

(iv) (1)式と(2)式からaとbを求めます。

(1)式より、 $3a = 2b - 5$

$a = (2b - 5)/3$

これを(2)式に代入します。

$2((2b - 5)/3) + 3b - 9 = 0$

$4b - 10 + 9b - 27 = 0$

$13b - 37 = 0$

$b = 37/13$

$a = (2*(37/13) - 5)/3 = (74/13 - 65/13)/3 = (9/13)/3 = 3/13$

3. 最終的な答え

(1) y=xに関して対称な点の座標: (5, -3)

(2) 3x - 2y + 12 = 0に関して対称な点の座標: (3/13, 37/13)