行列 $\begin{bmatrix} 3 & t \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$ が正則とならない $t$ の値を求め、その条件において、この行列が定める線形変換が任意のベクトルをどのようなベクトルに写すかを示す。

1. 問題の内容

行列 $\begin{bmatrix} 3 & t \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$ が正則とならない $t$ の値を求め、その条件において、この行列が定める線形変換が任意のベクトルをどのようなベクトルに写すかを示す。

2. 解き方の手順

行列が正則でないとき、その行列式は 0 になる。行列 $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ の行列式は $ad - bc$ である。

今回の行列 $\begin{bmatrix} 3 & t \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$ の行列式は $3*3 - t*(-1) = 9 + t$ である。

この行列式が 0 になるとき、行列は正則でないので、$9 + t = 0$ を解く。

$9 + t = 0$

$t = -9$

$t = -9$ のとき、行列は $\begin{bmatrix} 3 & -9 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$ となる。

この行列によって任意のベクトル $\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ がどのようなベクトルに写されるかを調べる。

$\begin{bmatrix} 3 & -9 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3x - 9y \\ -x + 3y \end{bmatrix} = (x - 3y)\begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix}$

つまり、任意のベクトル $\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ は $\begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix}$ のスカラー倍のベクトルに写される。

3. 最終的な答え

$t = -9$

任意のベクトル $\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ は $\begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix}$ のスカラー倍のベクトルに写される。

言い換えると、線形変換後のベクトルは、ベクトル $\begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix}$ 上にある。