点 A(2, 1, 0) を通り、ベクトル $\vec{n} = (1, 0, 1)$ に垂直な平面 $\alpha$ に関して、点 P(1, 3, 7) と対称な点 R の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

点 A(2, 1, 0) を通り、ベクトル $\vec{n} = (1, 0, 1)$ に垂直な平面 $\alpha$ に関して、点 P(1, 3, 7) と対称な点 R の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、平面 $\alpha$ の方程式を求めます。平面 $\alpha$ は点 A(2, 1, 0) を通り、法線ベクトルが $\vec{n} = (1, 0, 1)$ なので、平面 $\alpha$ の方程式は次のようになります。

$1(x - 2) + 0(y - 1) + 1(z - 0) = 0$

整理すると、

$x + z - 2 = 0$

次に、点 P(1, 3, 7) から平面 $\alpha$ に下ろした垂線の足を H とします。直線 PH はベクトル $\vec{n} = (1, 0, 1)$ に平行なので、直線 PH の方程式はパラメータ $t$ を用いて次のように表すことができます。

$\vec{OH} = \vec{OP} + t\vec{n} = (1, 3, 7) + t(1, 0, 1) = (1+t, 3, 7+t)$

点 H は平面 $\alpha$ 上にあるので、点 H の座標を平面 $\alpha$ の方程式に代入します。

$(1+t) + (7+t) - 2 = 0$

$2t + 6 = 0$

$t = -3$

したがって、点 H の座標は次のようになります。

$\vec{OH} = (1-3, 3, 7-3) = (-2, 3, 4)$

点 R は点 P と平面 $\alpha$ に関して対称なので、点 H は線分 PR の中点になります。したがって、点 R の座標を (x, y, z) とすると、次のようになります。

$\frac{x + 1}{2} = -2$

$\frac{y + 3}{2} = 3$

$\frac{z + 7}{2} = 4$

これを解くと、

$x + 1 = -4 \Rightarrow x = -5$

$y + 3 = 6 \Rightarrow y = 3$

$z + 7 = 8 \Rightarrow z = 1$

したがって、点 R の座標は (-5, 3, 1) となります。

3. 最終的な答え

点 R の座標は (-5, 3, 1) です。