(1) 線形変換 $f_A$ によって、ベクトル $\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ が $\begin{bmatrix} 3 \\ 3 \end{bmatrix}$ に、ベクトル $\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}$ が $\begin{bmatrix} 6 \\ 4 \end{bmatrix}$ に写されるとき、線形変換 $f_A$ を定める行列 $A$ を求めよ。 (2) (1) で求めた行列 $A$ を対角行列 $A_d$ と回転行列 $A_R$ を用いて $A = A_d A_R$ と表現できるとき、$A_d$ と $A_R$ を求めよ。 (3) 線形変換 $f_A$ によって、直線 $y = x$ はどのような図形に写されるか示せ。

1. 問題の内容

(1) 線形変換 $f_A$ によって、ベクトル $\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ が $\begin{bmatrix} 3 \\ 3 \end{bmatrix}$ に、ベクトル $\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}$ が $\begin{bmatrix} 6 \\ 4 \end{bmatrix}$ に写されるとき、線形変換 $f_A$ を定める行列 $A$ を求めよ。

(2) (1) で求めた行列 $A$ を対角行列 $A_d$ と回転行列 $A_R$ を用いて $A = A_d A_R$ と表現できるとき、$A_d$ と $A_R$ を求めよ。

(3) 線形変換 $f_A$ によって、直線 $y = x$ はどのような図形に写されるか示せ。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A$ を $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ とおく。与えられた条件から、以下の2つの式が成り立つ。

$A\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \end{bmatrix}$

$A\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 4 \end{bmatrix}$

これを成分で書くと、

$2a + b = 3$

$2c + d = 3$

$3a + b = 6$

$3c + d = 4$

これらの連立方程式を解く。

$3a + b - (2a + b) = 6 - 3$ より、$a = 3$。

$2(3) + b = 3$ より、$b = -3$。

$3c + d - (2c + d) = 4 - 3$ より、$c = 1$。

$2(1) + d = 3$ より、$d = 1$。

したがって、$A = \begin{bmatrix} 3 & -3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$

(2) 行列 $A = \begin{bmatrix} 3 & -3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ を対角行列 $A_d$ と回転行列 $A_R$ の積で表すことを考える。

まず、行列 $A$ の固有値を求める。

固有方程式は $|A - \lambda I| = 0$ より、

$\begin{vmatrix} 3-\lambda & -3 \\ 1 & 1-\lambda \end{vmatrix} = (3-\lambda)(1-\lambda) - (-3)(1) = \lambda^2 - 4\lambda + 6 = 0$

$\lambda = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 24}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-8}}{2} = 2 \pm i\sqrt{2}$

これより、$A = A_d A_R$ となる対角行列 $A_d$ と回転行列 $A_R$ を求めるのは難しい。

ただし、$A = A_d A_R$の形に分解できることはわかっているので、$A_d$と$A_R$の具体的な形を求めることは難しい。

(3) 直線 $y=x$ 上の点 $\begin{bmatrix} x \\ x \end{bmatrix}$ が線形変換 $f_A$ によってどのように写されるかを考える。

$A\begin{bmatrix} x \\ x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3x - 3x \\ x + x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 2x \end{bmatrix}$

これは、$x$ が任意の実数なので、y軸を表す。

3. 最終的な答え

(1) $A = \begin{bmatrix} 3 & -3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$

(2) $A_d$と$A_R$の具体的な形は求まらない。

(3) y軸