$m, n$ は実数とする。対偶を利用して、「 $|m+n| > 2$ ならば、$m, n$ のうち少なくとも一方は絶対値が1より大きい」ことを証明する。対偶は「$m, n$ がどちらも絶対値が1以下ならば、 $|m+n| \le 2$ 」である。$m, n$ について成り立つ不等式を記述し、それらを辺々加えることで、この対偶を示す。空欄 (①), (②), (③) に適切な不等式を選ぶ。

1. 問題の内容

$m, n$ は実数とする。対偶を利用して、「 $|m+n| > 2$ ならば、$m, n$ のうち少なくとも一方は絶対値が1より大きい」ことを証明する。対偶は「$m, n$ がどちらも絶対値が1以下ならば、 $|m+n| \le 2$ 」である。$m, n$ について成り立つ不等式を記述し、それらを辺々加えることで、この対偶を示す。空欄 (①), (②), (③) に適切な不等式を選ぶ。

2. 解き方の手順

問題文に対偶が「$m, n$ がどちらも絶対値が1以下ならば、 $|m+n| \le 2$ 」であると書かれている。

これは、$|m| \le 1$ かつ $|n| \le 1$ ならば $|m+n| \le 2$ を示すことを意味する。

$|m| \le 1$ は $-1 \le m \le 1$ を意味する。

$|n| \le 1$ は $-1 \le n \le 1$ を意味する。

この2つの不等式を辺々加えると、

$-1 + (-1) \le m + n \le 1 + 1$

$-2 \le m + n \le 2$

これは $|m+n| \le 2$ を意味する。

選択肢を確認すると、

選択肢1: $0 \le m \le 1$, $0 \le n \le 1$, $0 \le m+n \le 2$

選択肢2: $-1 \le m \le 1$, $-1 \le n \le 1$, $-2 \le m+n \le 2$

選択肢3: $-1 \le m \le 1$, $-1 \le n \le 1$, $-1 \le m+n \le 1$

選択肢4: $-1 \le m \le 1$, $-1 \le n \le 1$, $0 \le m+n \le 2$

選択肢5: $0 \le m \le 1$, $0 \le n \le 1$, $-2 \le m+n \le 2$

$|m| \le 1$ という条件から、 $0 \le m \le 1$ は適切ではないので、選択肢1, 5 は除外できる。

同様に、$|n| \le 1$ という条件から、$0 \le n \le 1$ も適切ではない。

$-1 \le m \le 1$ と $-1 \le n \le 1$ を加えると $-2 \le m+n \le 2$ となるので、これを含む選択肢は2である。

3. 最終的な答え

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