9個の文字 M, A, T, H, C, H, A, R, T を横1列に並べる場合の数を求める問題です。 (1) すべての並べ方 (2) AとAが隣り合うような並べ方 (3) AとAが隣り合い、かつTとTも隣り合うような並べ方 (4) M, C, Rがこの順に並ぶ並べ方

1. 問題の内容

9個の文字 M, A, T, H, C, H, A, R, T を横1列に並べる場合の数を求める問題です。

(1) すべての並べ方

(2) AとAが隣り合うような並べ方

(3) AとAが隣り合い、かつTとTも隣り合うような並べ方

(4) M, C, Rがこの順に並ぶ並べ方

2. 解き方の手順

(1) すべての並べ方

9個の文字の中に、Aが2個、Tが2個、Hが2個あります。したがって、並べ方の総数は、

$\frac{9!}{2!2!2!} = \frac{362880}{8} = 45360$

(2) AとAが隣り合うような並べ方

AとAをひとまとめにして考えます。すると、8個のものを並べることになります。

8個のものの中に、Tが2個、Hが2個あります。したがって、並べ方の総数は、

$\frac{8!}{2!2!} = \frac{40320}{4} = 10080$

(3) AとAが隣り合い、かつTとTも隣り合うような並べ方

AとAをひとまとめ、TとTをひとまとめにして考えます。すると、7個のものを並べることになります。

7個のものの中に、Hが2個あります。したがって、並べ方の総数は、

$\frac{7!}{2!} = \frac{5040}{2} = 2520$

(4) M, C, Rがこの順に並ぶ並べ方

M, C, Rをすべて同じ文字Xに置き換えて考えます。すると、9個の文字の中に、Aが2個、Tが2個、Hが2個、Xが3個あります。

並べ方の総数は、

$\frac{9!}{2!2!2!3!} = \frac{362880}{8 \times 6} = \frac{362880}{48} = 7560$

並べ終わった後に、Xを左から順にM, C, Rに置き換えることで、M, C, Rがこの順に並ぶ並べ方が求められます。

3. 最終的な答え

(1) 45360通り

(2) 10080通り

(3) 2520通り

(4) 7560通り