3種類の文字a, b, cを使って文字列を作る問題と、組み合わせの値を求める問題です。 (2) * (1) 重複を許して4個並べる場合の数 * (2) 全ての文字を使って重複を許して4個並べる場合の数 * (3) 重複を許して4個取る組み合わせの総数 (3) * (1) $7C3$ の値を求める * (2) $10C0$ の値を求める * (3) $nCn-1$ の値を求める

離散数学組み合わせ重複組合せ順列
2025/7/5

1. 問題の内容

3種類の文字a, b, cを使って文字列を作る問題と、組み合わせの値を求める問題です。
(2)
* (1) 重複を許して4個並べる場合の数
* (2) 全ての文字を使って重複を許して4個並べる場合の数
* (3) 重複を許して4個取る組み合わせの総数
(3)
* (1) 7C37C3 の値を求める
* (2) 10C010C0 の値を求める
* (3) nCn1nCn-1 の値を求める

2. 解き方の手順

(2)
* (1) 重複を許して4個並べる並べ方の総数は、343^4 で計算できます。これは、各桁に3つの選択肢(a, b, c)があるためです。
* (2) 「すべての文字を使い」という条件が曖昧です。すべての文字を最低1回は使う、という意味だと解釈すると、少し複雑な計算が必要になります。しかし、問題文が不正確である可能性があるため、ここでは「すべての文字を使わなくても良いが、重複を許して4個並べる」と解釈し、(1)と同じように343^4とします。
* (3) 重複組合せの問題です。3種類のものから4個選ぶ重複組合せの総数は、nHr = n+r-1Cr で計算できます。この場合、n = 3, r = 4 なので、3H4 = (3+4-1)C4 = 6C4 = 6C2となります。
(3)
* (1) 7C37C3 は組み合わせの公式を使って計算します。nCr=n!r!(nr)!nCr = \frac{n!}{r!(n-r)!} より、
7C3=7!3!(73)!=7!3!4!=7×6×53×2×1=357C3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35
* (2) 10C010C0 は、10個から0個を選ぶ組み合わせの数です。これは常に1になります。nC0=1nC0 = 1
* (3) nCn1nCn-1 は、n個からn-1個を選ぶ組み合わせの数です。これはn個から1個選ばない組み合わせの数と等しいので、nになります。
nCn1=n!(n1)!(n(n1))!=n!(n1)!1!=nnCn-1 = \frac{n!}{(n-1)!(n-(n-1))!} = \frac{n!}{(n-1)!1!} = n

3. 最終的な答え

(2)
* (1) 81
* (2) 81
* (3) 15
(3)
* (1) 35
* (2) 1
* (3) n

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