3種類の文字a, b, cを使って文字列を作る問題と、組み合わせの値を求める問題です。 (2) * (1) 重複を許して4個並べる場合の数 * (2) 全ての文字を使って重複を許して4個並べる場合の数 * (3) 重複を許して4個取る組み合わせの総数 (3) * (1) $7C3$ の値を求める * (2) $10C0$ の値を求める * (3) $nCn-1$ の値を求める

1. 問題の内容

3種類の文字a, b, cを使って文字列を作る問題と、組み合わせの値を求める問題です。

(2)

* (1) 重複を許して4個並べる場合の数

* (2) 全ての文字を使って重複を許して4個並べる場合の数

* (3) 重複を許して4個取る組み合わせの総数

(3)

* (1) $7C3$ の値を求める

* (2) $10C0$ の値を求める

* (3) $nCn-1$ の値を求める

2. 解き方の手順

(2)

* (1) 重複を許して4個並べる並べ方の総数は、$3^4$ で計算できます。これは、各桁に3つの選択肢（a, b, c）があるためです。

* (2) 「すべての文字を使い」という条件が曖昧です。すべての文字を最低1回は使う、という意味だと解釈すると、少し複雑な計算が必要になります。しかし、問題文が不正確である可能性があるため、ここでは「すべての文字を使わなくても良いが、重複を許して4個並べる」と解釈し、(1)と同じように$3^4$とします。

* (3) 重複組合せの問題です。3種類のものから4個選ぶ重複組合せの総数は、nHr = n+r-1Cr で計算できます。この場合、n = 3, r = 4 なので、3H4 = (3+4-1)C4 = 6C4 = 6C2となります。

(3)

* (1) $7C3$ は組み合わせの公式を使って計算します。$nCr = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ より、

$7C3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

* (2) $10C0$ は、10個から0個を選ぶ組み合わせの数です。これは常に1になります。$nC0 = 1$

* (3) $nCn-1$ は、n個からn-1個を選ぶ組み合わせの数です。これはn個から1個選ばない組み合わせの数と等しいので、nになります。

$nCn-1 = \frac{n!}{(n-1)!(n-(n-1))!} = \frac{n!}{(n-1)!1!} = n$

3. 最終的な答え

(2)

* (1) 81

* (2) 81

* (3) 15

(3)

* (1) 35

* (2) 1

* (3) n