画像に写っている数学の問題は、主に以下の2つの種類に分けられます。 * (5) 同じ文字を含む順列の問題 * (12) 重複組合せに関する問題 (12)の重複組合せの問題は全部で5題あります。

1. 問題の内容

画像に写っている数学の問題は、主に以下の2つの種類に分けられます。

* (5) 同じ文字を含む順列の問題

* (12) 重複組合せに関する問題

(12)の重複組合せの問題は全部で5題あります。

2. 解き方の手順

(5) 2個のAとCを、A, C, Aの順に並べる方法

A, C, A, B, B, B の6つの文字を並べる順列の総数を求める問題です。

$A, C, A$ を並べる順番は決まっているので、$B$ の並べ方を考えます。

$6!$ 通りの並べ方がありますが、$A$が2つ、$B$が3つあるので、$2!$と$3!$で割る必要があります。

$\frac{6!}{2!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1)} = 60$

(12) (1) $1 \le x \le 5$, $1 \le y \le 5$, $1 \le z \le 5$ を満たす整数の組 $(x, y, z)$ の個数を求める問題です。

$x, y, z$ はそれぞれ1から5までの5通りの値を取ることができるので、$5 \times 5 \times 5 = 125$

(12) (2) $1 \le x < y < z \le 5$ を満たす整数の組 $(x, y, z)$ の個数を求める問題です。

これは1から5までの5個の数字から異なる3個の数字を選ぶ組み合わせの問題なので、$_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

(12) (3) $1 \le x \le y \le z \le 5$ を満たす整数の組 $(x, y, z)$ の個数を求める問題です。

これは重複組合せの問題です。

1から5までの数字から重複を許して3個選ぶ組み合わせなので、$_5H_3 = _{5+3-1}C_3 = _7C_3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

(12) (4) $x + y + z = 5$, $x \ge 0$, $y \ge 0$, $z \ge 0$ を満たす整数の組 $(x, y, z)$ の個数を求める問題です。

これは重複組合せの問題です。

3つの変数 $x, y, z$ の和が5になる非負整数の組を求めるので、$_3H_5 = _{3+5-1}C_5 = _7C_5 = _7C_2 = \frac{7!}{5!2!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

(12) (5) $x + y + z = 5$, $x \ge 1$, $y \ge 1$, $z \ge 1$ を満たす整数の組 $(x, y, z)$ の個数を求める問題です。

$x' = x - 1, y' = y - 1, z' = z - 1$ とすると、$x', y', z' \ge 0$ であり、$x' + 1 + y' + 1 + z' + 1 = 5$ となるので、$x' + y' + z' = 2$ を満たす非負整数の組 $(x', y', z')$ の個数を求めれば良いです。

これは重複組合せの問題です。

3つの変数 $x', y', z'$ の和が2になる非負整数の組を求めるので、$_3H_2 = _{3+2-1}C_2 = _4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

3. 最終的な答え

(5) 30通り

(12) (1) 125組

(12) (2) 10組

(12) (3) 35組

(12) (4) 21組

(12) (5) 6組