図のような道がある街で、AからBへ行く最短経路の数、そのうちCを通るものの数、そしてCを通りDを通らないものの数をそれぞれ求める問題です。

離散数学組み合わせ最短経路場合の数組み合わせ論
2025/7/2

1. 問題の内容

図のような道がある街で、AからBへ行く最短経路の数、そのうちCを通るものの数、そしてCを通りDを通らないものの数をそれぞれ求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、AからBへ行く最短経路の数を求めます。これは右に4回、下に3回移動するので、全部で7回の移動のうち、右への移動を4回選ぶ組み合わせの数になります。
次に、AからBへ行く最短経路のうち、Cを通るものの数を求めます。これはAからCへ行く最短経路の数と、CからBへ行く最短経路の数を掛け合わせることで求められます。AからCへは右に1回、下に1回移動するので、2回の移動のうち右への移動を1回選ぶ組み合わせの数です。CからBへは右に3回、下に2回移動するので、5回の移動のうち右への移動を3回選ぶ組み合わせの数になります。
最後に、AからBへ行く最短経路のうち、Cを通りDを通らないものの数を求めます。これは、Cを通りBへ行く経路から、CとDを両方通る経路の数を引くことで求められます。AからCへの経路数はすでに計算済みです。CからDへは右に1回、下に1回移動します。DからBへは右に2回、下に1回移動します。
計算:
* AからBへの最短経路数:
(74)=7!4!3!=7×6×53×2×1=35\binom{7}{4} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35
* AからCへの最短経路数:
(21)=2!1!1!=2\binom{2}{1} = \frac{2!}{1!1!} = 2
* CからBへの最短経路数:
(53)=5!3!2!=5×42×1=10\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10
* AからBへの最短経路でCを通るものの数:
2×10=202 \times 10 = 20
* CからDへの最短経路数:
(21)=2!1!1!=2\binom{2}{1} = \frac{2!}{1!1!} = 2
* DからBへの最短経路数:
(32)=3!2!1!=3\binom{3}{2} = \frac{3!}{2!1!} = 3
* AからBへの最短経路でCとDを両方通るものの数:
2×2×3=122 \times 2 \times 3 = 12
* AからBへの最短経路でCを通りDを通らないものの数:
2012=820 - 12 = 8

3. 最終的な答え

* AからBへ行く最短経路は35通り
* そのうち、Cを通るものは20通り
* また、AからBへ行く最短経路のうち、Cを通りDを通らないものは8通り

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