9人の生徒を2人、3人、4人の3つのグループに分ける問題。 (1) 美術部の3人で3人のグループを作り、残り6人から2人を選ぶ場合の数を求める。 (2) グループ分けの総数と、各グループに美術部員が1人ずつ入る場合の数を求める。 (3) 2人のグループに1つの部の部員だけが入る場合の数と、どのグループにも2つ以上の部の部員が入る場合の数を求める。

1. 問題の内容

9人の生徒を2人、3人、4人の3つのグループに分ける問題。

(1) 美術部の3人で3人のグループを作り、残り6人から2人を選ぶ場合の数を求める。

(2) グループ分けの総数と、各グループに美術部員が1人ずつ入る場合の数を求める。

(3) 2人のグループに1つの部の部員だけが入る場合の数と、どのグループにも2つ以上の部の部員が入る場合の数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 美術部の3人で3人のグループを作るのは1通り。残り6人から2人を選ぶ組み合わせは、${}_{6}C_2$ で計算する。

${}_{6}C_2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

(2) グループ分けの総数は、まず9人から2人を選び、次に残りの7人から3人を選び、最後に残りの4人を選ぶ組み合わせを計算し、3人と4人のグループの並び順は区別しないため2!で割る。

$\frac{{}_{9}C_2 \times {}_{7}C_3 \times {}_{4}C_4}{1} = \frac{\frac{9!}{2!7!} \times \frac{7!}{3!4!} \times \frac{4!}{4!0!}}{1} = \frac{36 \times 35 \times 1}{1} = 1260$

次に、各グループに美術部員が1人ずつ入る場合を考える。

2人のグループには美術部員1人と他の部員1人が入り、3人のグループには美術部員1人と他の部員2人が入り、4人のグループには美術部員1人と他の部員3人が入る。

まず、各グループに入れる美術部員を1人ずつ選ぶ方法は1通り。

次に、2人のグループには残り6人から1人を選び、3人のグループには残り5人から2人を選び、4人のグループには残り3人から3人を選ぶ組み合わせを考える。

${}_{6}C_1 \times {}_{5}C_2 \times {}_{3}C_3 = 6 \times \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times 1 = 6 \times 10 \times 1 = 60$

(3) 2人のグループに1つの部の部員だけが入る場合を考える。

2人のグループは美術部、書道部、合唱部のいずれかの部員だけで構成される。

それぞれの部で2人を選ぶことができるかどうかで場合分けが必要となる。

ここでは、2人のグループが美術部、書道部、合唱部のいずれかだけで構成され、残りのメンバーで3人と4人のグループを作ることを考える。

各部員が3人いるので、どの部員2人を選んでも構わない。

まずは2人のグループの種類を決める。これは3通り（美術部のみ、書道部のみ、合唱部のみ）。

2人のグループの種類が決まれば、そのグループの作り方は${}_{3}C_2 = 3$通り。

残りの7人で3人、4人のグループを作る場合を考える。

2人のグループで選ばれていない部の部員は3人なので、残りの部員は6人。

この6人から3人のグループ、4人のグループを構成する場合を考えれば良い。

3人のグループを選んだら、残りの部員で4人のグループを作ることになるため、これは1通り。

よって、求める場合の数は、$3 \times 3 \times 1=9$。さらに、残り6人から3人のグループと4人のグループを選ぶ方法は${}_6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = 20$通り

したがって、2人のグループに1つの部の部員だけが入る場合の数は$3 \times 3 \times 20=180$。

どのグループにも2つ以上の部の部員が入るような分け方は、グループ分けの総数から、2人のグループに1つの部の部員だけが入るような分け方を除いたものとして求めることはできない。なぜなら、他に「3人のグループに1つの部の部員だけが入る」、「4人のグループに1つの部の部員だけが入る」という場合も存在するから。したがって、この方針では計算が困難である。

問題文を再度注意深く読むと、9人の生徒は、美術部、書道部、合唱部の部員が3人ずつという条件がある。

この条件を利用すると、各グループに2つ以上の部の部員が入るということは、どのグループも同じ部員だけで構成されてはいけない、と言い換えることができる。

この方針で行く。まず、全体の場合の数である1260通りから、2人のグループに1つの部の部員だけが入る場合（上記で計算した180通り）を引く。

次に、3人のグループに1つの部の部員だけが入る場合を考える。3人のグループに1つの部の部員だけが入るパターンは、3つの部のうちから1つの部を選ぶので3通り。その選び方は${}_3C_3=1$通り。残りの6人から2人と4人のグループを作る場合の数は、${}_6C_2=15$通り。したがって、45通り。

最後に4人のグループに1つの部の部員だけが入る場合を考える。これはありえない。なぜなら、どの部員も3人ずつしかいないから。

よって、求める場合の数は、$1260 - 180 - 45 = 1035$通り。

3. 最終的な答え

(1) 15通り

(2) グループ分けの総数：1260通り、各グループに美術部員が1人ずつ入る分け方：60通り

(3) 2人のグループに1つの部の部員だけが入る分け方：180通り、どのグループにも2つ以上の部の部員が入る分け方：1035通り