図のような道がある街で、以下の3つの最短経路の数を求める問題です。 (1) AからBへ行く最短経路 (2) AからBへ行く最短経路のうち、Cを通るもの (3) AからBへ行く最短経路のうち、Cを通りDを通らないもの

離散数学組み合わせ最短経路場合の数
2025/7/2

1. 問題の内容

図のような道がある街で、以下の3つの最短経路の数を求める問題です。
(1) AからBへ行く最短経路
(2) AからBへ行く最短経路のうち、Cを通るもの
(3) AからBへ行く最短経路のうち、Cを通りDを通らないもの

2. 解き方の手順

(1) AからBへの最短経路
AからBへ行くには、右に5マス、上に3マス進む必要があります。したがって、全部で8マス進むうち、右に5マス進む方向の選び方を考えればよいので、
8C5=8!5!3!=8×7×63×2×1=56_{8}C_{5} = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56 通り
(2) AからBへの最短経路のうち、Cを通るもの
AからCへの最短経路は、右に2マス、上に1マス進むので、
3C2=3!2!1!=3_{3}C_{2} = \frac{3!}{2!1!} = 3 通り
CからBへの最短経路は、右に3マス、上に2マス進むので、
5C3=5!3!2!=5×42×1=10_{5}C_{3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 通り
したがって、AからCを通ってBへ行く最短経路は、
3×10=303 \times 10 = 30 通り
(3) AからBへの最短経路のうち、Cを通りDを通らないもの
AからCへは3通り。CからDへの最短経路は右に1マス、上に1マス進むので、
2C1=2_{2}C_{1} = 2 通り。DからBへの最短経路は右に2マス、上に1マス進むので、
3C2=3_{3}C_{2} = 3 通り。
したがって、AからCを通りDを通ってBへ行く最短経路は、
3×2×3=183 \times 2 \times 3 = 18 通り
Cを通る経路が30通りあり、そのうちDを通る経路が18通りあるので、Cを通りDを通らない経路は、
3018=1230 - 18 = 12 通り

3. 最終的な答え

(1) AからBへ行く最短経路は 56 通り
(2) AからBへ行く最短経路のうち、Cを通るものは 30 通り
(3) AからBへ行く最短経路のうち、Cを通りDを通らないものは 12 通り

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