x,y,z,w は正の整数であるから、x≥1,y≥1,z≥1,w≥1 です。 そこで、
x′=x−1,y′=y−1,z′=z−1,w′=w−1 とおくと、x′,y′,z′,w′≥0 となります。 x=x′+1,y=y′+1,z=z′+1,w=w′+1 を x+y+z+w=20 に代入すると、 (x′+1)+(y′+1)+(z′+1)+(w′+1)=20 x′+y′+z′+w′+4=20 x′+y′+z′+w′=16 この式を満たす非負整数 x′,y′,z′,w′ の組の総数を求めればよいです。 これは、16個の区別できないものを4つの区別できる箱に入れる場合の数に等しいです。
すなわち、16個の〇と3個の仕切りの並べ方を考えれば良いので、(316+3) で求められます。 (316+3) = (319) = 3×2×119×18×17=19×3×17=969