$x + y + z + w = 20$ を満たす正の整数 $x, y, z, w$ の組の総数を求める問題です。離散数学組み合わせ重複組合せ方程式非負整数解2025/7/21. 問題の内容x+y+z+w=20x + y + z + w = 20x+y+z+w=20 を満たす正の整数 x,y,z,wx, y, z, wx,y,z,w の組の総数を求める問題です。2. 解き方の手順x,y,z,wx, y, z, wx,y,z,w は正の整数であるから、x≥1,y≥1,z≥1,w≥1x \geq 1, y \geq 1, z \geq 1, w \geq 1x≥1,y≥1,z≥1,w≥1 です。そこで、x′=x−1,y′=y−1,z′=z−1,w′=w−1x' = x - 1, y' = y - 1, z' = z - 1, w' = w - 1x′=x−1,y′=y−1,z′=z−1,w′=w−1 とおくと、x′,y′,z′,w′≥0x', y', z', w' \geq 0x′,y′,z′,w′≥0 となります。x=x′+1,y=y′+1,z=z′+1,w=w′+1x = x' + 1, y = y' + 1, z = z' + 1, w = w' + 1x=x′+1,y=y′+1,z=z′+1,w=w′+1 を x+y+z+w=20x + y + z + w = 20x+y+z+w=20 に代入すると、(x′+1)+(y′+1)+(z′+1)+(w′+1)=20(x' + 1) + (y' + 1) + (z' + 1) + (w' + 1) = 20(x′+1)+(y′+1)+(z′+1)+(w′+1)=20x′+y′+z′+w′+4=20x' + y' + z' + w' + 4 = 20x′+y′+z′+w′+4=20x′+y′+z′+w′=16x' + y' + z' + w' = 16x′+y′+z′+w′=16この式を満たす非負整数 x′,y′,z′,w′x', y', z', w'x′,y′,z′,w′ の組の総数を求めればよいです。これは、16個の区別できないものを4つの区別できる箱に入れる場合の数に等しいです。すなわち、16個の〇と3個の仕切りの並べ方を考えれば良いので、(16+33){16+3} \choose {3}(316+3) で求められます。(16+33){16+3} \choose {3}(316+3) = (193){19} \choose {3}(319) = 19×18×173×2×1=19×3×17=969\frac{19 \times 18 \times 17}{3 \times 2 \times 1} = 19 \times 3 \times 17 = 9693×2×119×18×17=19×3×17=9693. 最終的な答え969