$x + y + z + w = 20$ を満たす正の整数 $x, y, z, w$ の組の総数を求める問題です。

離散数学組み合わせ重複組合せ方程式非負整数解
2025/7/2

1. 問題の内容

x+y+z+w=20x + y + z + w = 20 を満たす正の整数 x,y,z,wx, y, z, w の組の総数を求める問題です。

2. 解き方の手順

x,y,z,wx, y, z, w は正の整数であるから、x1,y1,z1,w1x \geq 1, y \geq 1, z \geq 1, w \geq 1 です。
そこで、
x=x1,y=y1,z=z1,w=w1x' = x - 1, y' = y - 1, z' = z - 1, w' = w - 1 とおくと、x,y,z,w0x', y', z', w' \geq 0 となります。
x=x+1,y=y+1,z=z+1,w=w+1x = x' + 1, y = y' + 1, z = z' + 1, w = w' + 1x+y+z+w=20x + y + z + w = 20 に代入すると、
(x+1)+(y+1)+(z+1)+(w+1)=20(x' + 1) + (y' + 1) + (z' + 1) + (w' + 1) = 20
x+y+z+w+4=20x' + y' + z' + w' + 4 = 20
x+y+z+w=16x' + y' + z' + w' = 16
この式を満たす非負整数 x,y,z,wx', y', z', w' の組の総数を求めればよいです。
これは、16個の区別できないものを4つの区別できる箱に入れる場合の数に等しいです。
すなわち、16個の〇と3個の仕切りの並べ方を考えれば良いので、(16+33){16+3} \choose {3} で求められます。
(16+33){16+3} \choose {3} = (193){19} \choose {3} = 19×18×173×2×1=19×3×17=969\frac{19 \times 18 \times 17}{3 \times 2 \times 1} = 19 \times 3 \times 17 = 969

3. 最終的な答え

969

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