$x + y + z + w = 20$ を満たす正の整数 $x, y, z, w$ の組の総数を求める問題です。

1. 問題の内容

$x + y + z + w = 20$ を満たす正の整数 $x, y, z, w$ の組の総数を求める問題です。

2. 解き方の手順

$x, y, z, w$ は正の整数であるから、$x \geq 1, y \geq 1, z \geq 1, w \geq 1$ です。

そこで、

$x' = x - 1, y' = y - 1, z' = z - 1, w' = w - 1$ とおくと、$x', y', z', w' \geq 0$ となります。

$x = x' + 1, y = y' + 1, z = z' + 1, w = w' + 1$ を $x + y + z + w = 20$ に代入すると、

$(x' + 1) + (y' + 1) + (z' + 1) + (w' + 1) = 20$

$x' + y' + z' + w' + 4 = 20$

$x' + y' + z' + w' = 16$

この式を満たす非負整数 $x', y', z', w'$ の組の総数を求めればよいです。

これは、16個の区別できないものを4つの区別できる箱に入れる場合の数に等しいです。

すなわち、16個の〇と3個の仕切りの並べ方を考えれば良いので、${16+3} \choose {3}$ で求められます。

${16+3} \choose {3}$ = ${19} \choose {3}$ = $\frac{19 \times 18 \times 17}{3 \times 2 \times 1} = 19 \times 3 \times 17 = 969$

3. 最終的な答え

969