6つの数字 1, 1, 2, 2, 3, 3 を1列に並べる。 (1) 相異なる並べ方は全部で何通りあるか。 (2) 同じ数字が隣り合わない並べ方は何通りあるか。

1. 問題の内容

6つの数字 1, 1, 2, 2, 3, 3 を1列に並べる。

(1) 相異なる並べ方は全部で何通りあるか。

(2) 同じ数字が隣り合わない並べ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 6つの数字を並べる総数は、同じものを含む順列の公式を用いる。

6つの数字を並べる方法は全部で $6!$ 通りあるが、1が2つ、2が2つ、3が2つあるので、同じ並び順を重複して数えないようにするために、それぞれの階乗で割る。

$$\frac{6!}{2!2!2!}$$

$$\frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{720}{8} = 90$$

(2) 同じ数字が隣り合わない並べ方を求める。

まず、異なる数字を交互に並べることを考える。

1, 2, 3を並べたとき、その間に隙間ができる。

1 _ 2 _ 3 _ のように、_ のところに1, 2, 3を入れれば良い。

まず、1, 2, 3を並べる方法は $3! = 6$ 通り。

次に、並べた3つの数字の間に、同じ数字を入れないように並べる。

この方法ではうまく計算できない。

包除原理を使う。

まず、全ての並べ方(90通り)から、少なくとも1組の同じ数字が隣り合う場合を引く。

次に、2組の同じ数字が隣り合う場合を足し、3組の同じ数字が隣り合う場合を引く。

1組の同じ数字が隣り合う場合:

11, 2, 2, 3, 3 の5つを並べる。

$\frac{5!}{2!2!} \times 3$ (組の選び方が3通り) $= \frac{120}{4} \times 3 = 30 \times 3 = 90$

これはダブりがあるので修正する

2組の同じ数字が隣り合う場合:

11, 22, 3, 3 の4つを並べる。

$\frac{4!}{2!} \times 3$C2 (組み合わせ) $= 12 \times 3 = 36$

3組の同じ数字が隣り合う場合:

11, 22, 33 の3つを並べる。

$3! = 6$

よって、

$90 - (90 - 36 + 6)$

$90 - (\frac{5!}{2!2!} \times 3 - \frac{4!}{2!} \times 3 + 3!)$

$=90 - 3 \times \frac{5!}{2!2!} + 3 \times \frac{4!}{2!} - 3!$

$\frac{5!}{2!2!} = 30$

$\frac{4!}{2!} = 12$

$3! = 6$

$=90 - 3(30) + 3(12) - 6$

$=90 - 90 + 36 - 6 = 30$

3. 最終的な答え

(1) 90通り

(2) 30通り