6つの数字 1, 1, 2, 2, 3, 3 を1列に並べる。 (1) 相異なる並べ方は全部で何通りあるか。 (2) 同じ数字が隣り合わない並べ方は何通りあるか。

離散数学順列組み合わせ包除原理場合の数
2025/7/2

1. 問題の内容

6つの数字 1, 1, 2, 2, 3, 3 を1列に並べる。
(1) 相異なる並べ方は全部で何通りあるか。
(2) 同じ数字が隣り合わない並べ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 6つの数字を並べる総数は、同じものを含む順列の公式を用いる。
6つの数字を並べる方法は全部で 6!6! 通りあるが、1が2つ、2が2つ、3が2つあるので、同じ並び順を重複して数えないようにするために、それぞれの階乗で割る。
6!2!2!2! \frac{6!}{2!2!2!}
6×5×4×3×2×1(2×1)(2×1)(2×1)=7208=90 \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{720}{8} = 90
(2) 同じ数字が隣り合わない並べ方を求める。
まず、異なる数字を交互に並べることを考える。
1, 2, 3を並べたとき、その間に隙間ができる。
1 _ 2 _ 3 _ のように、_ のところに1, 2, 3を入れれば良い。
まず、1, 2, 3を並べる方法は 3!=63! = 6 通り。
次に、並べた3つの数字の間に、同じ数字を入れないように並べる。
この方法ではうまく計算できない。
包除原理を使う。
まず、全ての並べ方(90通り)から、少なくとも1組の同じ数字が隣り合う場合を引く。
次に、2組の同じ数字が隣り合う場合を足し、3組の同じ数字が隣り合う場合を引く。
1組の同じ数字が隣り合う場合:
11, 2, 2, 3, 3 の5つを並べる。
5!2!2!×3\frac{5!}{2!2!} \times 3 (組の選び方が3通り) =1204×3=30×3=90= \frac{120}{4} \times 3 = 30 \times 3 = 90
これはダブりがあるので修正する
2組の同じ数字が隣り合う場合:
11, 22, 3, 3 の4つを並べる。
4!2!×3\frac{4!}{2!} \times 3C2 (組み合わせ) =12×3=36= 12 \times 3 = 36
3組の同じ数字が隣り合う場合:
11, 22, 33 の3つを並べる。
3!=63! = 6
よって、
90(9036+6)90 - (90 - 36 + 6)
90(5!2!2!×34!2!×3+3!)90 - (\frac{5!}{2!2!} \times 3 - \frac{4!}{2!} \times 3 + 3!)
=903×5!2!2!+3×4!2!3!=90 - 3 \times \frac{5!}{2!2!} + 3 \times \frac{4!}{2!} - 3!
5!2!2!=30\frac{5!}{2!2!} = 30
4!2!=12\frac{4!}{2!} = 12
3!=63! = 6
=903(30)+3(12)6=90 - 3(30) + 3(12) - 6
=9090+366=30=90 - 90 + 36 - 6 = 30

3. 最終的な答え

(1) 90通り
(2) 30通り

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