6つの数字 1, 1, 2, 2, 3, 3 を1列に並べる。 (1) 相異なる並べ方は全部で何通りあるか。 (2) 同じ数字が隣り合わない並べ方は何通りあるか。
2025/7/2
1. 問題の内容
6つの数字 1, 1, 2, 2, 3, 3 を1列に並べる。
(1) 相異なる並べ方は全部で何通りあるか。
(2) 同じ数字が隣り合わない並べ方は何通りあるか。
2. 解き方の手順
(1) 6つの数字を並べる総数は、同じものを含む順列の公式を用いる。
6つの数字を並べる方法は全部で 通りあるが、1が2つ、2が2つ、3が2つあるので、同じ並び順を重複して数えないようにするために、それぞれの階乗で割る。
(2) 同じ数字が隣り合わない並べ方を求める。
まず、異なる数字を交互に並べることを考える。
1, 2, 3を並べたとき、その間に隙間ができる。
1 _ 2 _ 3 _ のように、_ のところに1, 2, 3を入れれば良い。
まず、1, 2, 3を並べる方法は 通り。
次に、並べた3つの数字の間に、同じ数字を入れないように並べる。
この方法ではうまく計算できない。
包除原理を使う。
まず、全ての並べ方(90通り)から、少なくとも1組の同じ数字が隣り合う場合を引く。
次に、2組の同じ数字が隣り合う場合を足し、3組の同じ数字が隣り合う場合を引く。
1組の同じ数字が隣り合う場合:
11, 2, 2, 3, 3 の5つを並べる。
(組の選び方が3通り)
これはダブりがあるので修正する
2組の同じ数字が隣り合う場合:
11, 22, 3, 3 の4つを並べる。
C2 (組み合わせ)
3組の同じ数字が隣り合う場合:
11, 22, 33 の3つを並べる。
よって、
3. 最終的な答え
(1) 90通り
(2) 30通り