袋の中に赤球2個と白球4個が入っている。この袋から同時に2個の球を取り出す操作を、取り出した球の中に少なくとも1つの赤球が含まれるまで繰り返す。ただし、取り出した球は元に戻さない。このとき、操作の繰り返し回数 $X$ の平均 $E[X]$ と標準偏差 $\sigma[X]$ を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤球2個と白球4個が入っている。この袋から同時に2個の球を取り出す操作を、取り出した球の中に少なくとも1つの赤球が含まれるまで繰り返す。ただし、取り出した球は元に戻さない。このとき、操作の繰り返し回数 $X$ の平均 $E[X]$ と標準偏差 $\sigma[X]$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$X=k$ となる確率 $P(X=k)$ を求める。$X=k$ となるのは、$k-1$ 回目まで赤球が出ず、$k$ 回目に初めて赤球が出る場合である。

$P(X=1)$ は、1回目の操作で赤球が出る確率である。これは、

$P(X=1) = \frac{{}_2C_1 {}_4C_1 + {}_2C_2}{{}_6C_2} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{15} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$

$P(X=2)$ は、1回目に赤球が出ず、2回目に初めて赤球が出る確率である。1回目に白球2個を取り出す確率は ${}_4C_2 / {}_6C_2 = 6/15 = 2/5$。1回目の操作後、袋の中には赤球2個と白球2個が残っている。2回目の操作で赤球が出る確率は、${}_2C_1 {}_2C_1 + {}_2C_2 / {}_4C_2 = (2\cdot 2 + 1)/6 = 5/6$ 。よって

$P(X=2) = \frac{{}_4C_2}{{}_6C_2} \cdot \frac{{}_2C_1 {}_2C_1 + {}_2C_2}{{}_4C_2} = \frac{6}{15} \cdot \frac{5}{6} = \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{1}{3}$

$P(X=3)$ は、1回目も2回目も赤球が出ず、3回目に初めて赤球が出る確率である。1回目に白球2個を取り出す確率は ${}_4C_2 / {}_6C_2 = 6/15 = 2/5$。1回目の操作後、袋の中には赤球2個と白球2個が残っている。2回目に白球2個を取り出す確率は ${}_2C_2 / {}_4C_2 = 1/6$ 。2回目の操作後、袋の中には赤球2個が残っている。3回目の操作で赤球が出る確率は1。よって

$P(X=3) = \frac{{}_4C_2}{{}_6C_2} \cdot \frac{{}_2C_2}{{}_4C_2} \cdot 1 = \frac{6}{15} \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{15}$

$P(X)$ の確率分布は以下のようになる。

$P(X=1) = \frac{3}{5}$

$P(X=2) = \frac{1}{3}$

$P(X=3) = \frac{1}{15}$

合計すると $\frac{9}{15} + \frac{5}{15} + \frac{1}{15} = \frac{15}{15} = 1$ となる。

平均 $E[X]$ は、

$E[X] = 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) + 3 \cdot P(X=3) = 1 \cdot \frac{3}{5} + 2 \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot \frac{1}{15} = \frac{3}{5} + \frac{2}{3} + \frac{1}{5} = \frac{4}{5} + \frac{2}{3} = \frac{12+10}{15} = \frac{22}{15}$

$E[X^2] = 1^2 \cdot P(X=1) + 2^2 \cdot P(X=2) + 3^2 \cdot P(X=3) = 1 \cdot \frac{3}{5} + 4 \cdot \frac{1}{3} + 9 \cdot \frac{1}{15} = \frac{3}{5} + \frac{4}{3} + \frac{3}{5} = \frac{6}{5} + \frac{4}{3} = \frac{18+20}{15} = \frac{38}{15}$

分散 $V[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{38}{15} - \left(\frac{22}{15}\right)^2 = \frac{38}{15} - \frac{484}{225} = \frac{38 \cdot 15 - 484}{225} = \frac{570-484}{225} = \frac{86}{225}$

標準偏差 $\sigma[X] = \sqrt{V[X]} = \sqrt{\frac{86}{225}} = \frac{\sqrt{86}}{15}$

3. 最終的な答え

平均: $\frac{22}{15}$

標準偏差: $\frac{\sqrt{86}}{15}$