20個の製品があり、そのうち4個が不良品である。この中から3個を同時に取り出すとき、不良品が2個以上含まれる確率を求める。

1. 問題の内容

20個の製品があり、そのうち4個が不良品である。この中から3個を同時に取り出すとき、不良品が2個以上含まれる確率を求める。

2. 解き方の手順

不良品が2個以上含まれるのは、不良品が2個の場合と不良品が3個の場合である。

* **不良品が2個の場合**

不良品2個と良品1個を取り出す組み合わせの数を求める。

不良品2個の選び方は ${}_4 \mathrm{C}_2$ 通り。

良品1個の選び方は $20 - 4 = 16$ 個から1個選ぶので ${}_{16} \mathrm{C}_1$ 通り。

したがって、不良品2個と良品1個の組み合わせの数は ${}_4 \mathrm{C}_2 \times {}_{16} \mathrm{C}_1$ 通り。

* **不良品が3個の場合**

不良品3個を取り出す組み合わせの数を求める。

不良品3個の選び方は ${}_4 \mathrm{C}_3$ 通り。

* **全体の組み合わせ**

20個から3個を取り出す全体の組み合わせの数は ${}_{20} \mathrm{C}_3$ 通り。

* **確率の計算**

不良品が2個以上含まれる確率は、(不良品2個の場合の数 + 不良品3個の場合の数) / 全体の組み合わせの数 で計算できる。

$P = \frac{{}_4 \mathrm{C}_2 \times {}_{16} \mathrm{C}_1 + {}_4 \mathrm{C}_3}{{}_{20} \mathrm{C}_3}$

${}_4 \mathrm{C}_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

${}_{16} \mathrm{C}_1 = 16$

${}_4 \mathrm{C}_3 = \frac{4!}{3!1!} = 4$

${}_{20} \mathrm{C}_3 = \frac{20!}{17!3!} = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 20 \times 19 \times 3 = 1140$

$P = \frac{6 \times 16 + 4}{1140} = \frac{96 + 4}{1140} = \frac{100}{1140} = \frac{10}{114} = \frac{5}{57}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{57}$