2次関数 $y = x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9}$ について、$x$ の変域が $-6 \le x < 1$ のときの $y$ の値域を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9}$ について、$x$ の変域が $-6 \le x < 1$ のときの $y$ の値域を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} = (x - \frac{2}{3})^2$

このグラフは、頂点が $(\frac{2}{3}, 0)$ で、下に凸な放物線である。

変域 $-6 \le x < 1$ における $y$ の最小値と最大値を求める。

頂点の $x$ 座標 $\frac{2}{3}$ は与えられた変域に含まれるので、最小値は $y=0$ である。

次に、変域の端点での $y$ の値を計算する。

$x = -6$ のとき、

$y = (-6 - \frac{2}{3})^2 = (-\frac{20}{3})^2 = \frac{400}{9}$

$x = 1$ のとき、

$y = (1 - \frac{2}{3})^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$

変域 $-6 \le x < 1$ なので、$x=1$ のときは、不等号に等号は含まれていない。つまり、$x$ は $1$ に限りなく近づくものの、$1$ をとることはない。しかし、$y$ の値は$\frac{1}{9}$ に限りなく近づくことはある。

したがって、$-6 \le x < 1$ における $y$ の値域は、$0 \le y \le \frac{400}{9}$ と $y < \frac{1}{9}$ となる範囲が含まれる。$\frac{400}{9} > \frac{1}{9}$ なので、$0 \le y \le \frac{400}{9}$ となる。

3. 最終的な答え

$0 \le y \le \frac{400}{9}$

選択肢5が正解です。