原点から出発し数直線上を動く点Pがある。サイコロを投げて4以下の目が出たらPは+2進み、5以上の目が出たらPは-1進む。サイコロを6回投げた時の点Pの座標をXとする時、以下の問いに答える。 (1) $X > 0$ となる確率を求めよ。 (2) Xの平均と分散を求めよ。

1. 問題の内容

原点から出発し数直線上を動く点Pがある。サイコロを投げて4以下の目が出たらPは+2進み、5以上の目が出たらPは-1進む。サイコロを6回投げた時の点Pの座標をXとする時、以下の問いに答える。

(1) $X > 0$ となる確率を求めよ。

(2) Xの平均と分散を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

サイコロを6回投げるうち、4以下の目が出る回数を$k$回とすると、5以上の目は$(6-k)$回出る。この時、点Pの座標Xは、

$X = 2k - (6-k) = 3k - 6$

$X > 0$となるのは、$3k - 6 > 0$、つまり、$k > 2$となる時である。

$k$は0から6までの整数なので、$k=3, 4, 5, 6$の場合を考える。

4以下の目が出る確率は$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$、5以上の目が出る確率は$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$である。

$k=3$の時、確率は$_6C_3 (\frac{2}{3})^3 (\frac{1}{3})^3 = 20 \cdot \frac{8}{27} \cdot \frac{1}{27} = \frac{160}{729}$

$k=4$の時、確率は$_6C_4 (\frac{2}{3})^4 (\frac{1}{3})^2 = 15 \cdot \frac{16}{81} \cdot \frac{1}{9} = \frac{240}{729}$

$k=5$の時、確率は$_6C_5 (\frac{2}{3})^5 (\frac{1}{3})^1 = 6 \cdot \frac{32}{243} \cdot \frac{1}{3} = \frac{192}{729}$

$k=6$の時、確率は$_6C_6 (\frac{2}{3})^6 (\frac{1}{3})^0 = 1 \cdot \frac{64}{729} \cdot 1 = \frac{64}{729}$

よって、$X > 0$となる確率は、

$\frac{160}{729} + \frac{240}{729} + \frac{192}{729} + \frac{64}{729} = \frac{656}{729}$

(2)

$X = 3k - 6$

$k$は二項分布に従う。$k \sim B(6, \frac{2}{3})$

$E[k] = 6 \cdot \frac{2}{3} = 4$

$V[k] = 6 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$

$E[X] = E[3k-6] = 3E[k] - 6 = 3 \cdot 4 - 6 = 12 - 6 = 6$

$V[X] = V[3k-6] = 3^2 V[k] = 9 \cdot \frac{4}{3} = 12$

3. 最終的な答え

(1) $X > 0$となる確率は $\frac{656}{729}$

(2) Xの平均は $6$、Xの分散は $12$