1個のサイコロを投げたとき、出た目が4以上であれば3点、そうでなければ1点となる得点を確率変数 $X$ とする。また、出た目が偶数であれば3点、そうでなければ1点となる得点を確率変数 $Y$ とする。このとき、以下の問いに答える。 (1) 確率変数 $X$ と $Y$ は独立であるか。 (2) $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$ および $E(XY) = E(X) \cdot E(Y)$ はそれぞれ成り立つか。

1. 問題の内容

1個のサイコロを投げたとき、出た目が4以上であれば3点、そうでなければ1点となる得点を確率変数 $X$ とする。また、出た目が偶数であれば3点、そうでなければ1点となる得点を確率変数 $Y$ とする。このとき、以下の問いに答える。

(1) 確率変数 $X$ と $Y$ は独立であるか。

(2) $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$ および $E(XY) = E(X) \cdot E(Y)$ はそれぞれ成り立つか。

2. 解き方の手順

(1) 確率変数 $X$ と $Y$ の独立性について調べる。

$X$ の取りうる値は1と3、$Y$ の取りうる値も1と3である。

$P(X=3) = P(\text{出た目が4, 5, 6}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

$P(X=1) = P(\text{出た目が1, 2, 3}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

$P(Y=3) = P(\text{出た目が2, 4, 6}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

$P(Y=1) = P(\text{出た目が1, 3, 5}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

$P(X=3, Y=3) = P(\text{出た目が4, 6}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$P(X=3)P(Y=3) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

$P(X=3, Y=3) \neq P(X=3)P(Y=3)$ なので、$X$ と $Y$ は独立ではない。

(2) $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$ および $E(XY) = E(X) \cdot E(Y)$ について調べる。

一般に、$E(X+Y) = E(X) + E(Y)$ は常に成り立つ。

$E(X) = 1 \cdot \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1+3}{2} = 2$

$E(Y) = 1 \cdot \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1+3}{2} = 2$

よって、$E(X+Y) = E(X) + E(Y) = 2 + 2 = 4$

$E(XY) = \sum_{x, y} xy P(X=x, Y=y)$ を計算する。

$P(X=1, Y=1) = P(\text{出た目が1, 3}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$P(X=1, Y=3) = P(\text{出た目が2}) = \frac{1}{6}$

$P(X=3, Y=1) = P(\text{出た目が5}) = \frac{1}{6}$

$P(X=3, Y=3) = P(\text{出た目が4, 6}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$E(XY) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot 3 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot 1 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot 3 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3} + \frac{3}{6} + \frac{3}{6} + \frac{9}{3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 3 = \frac{2+3+3+18}{6} = \frac{26}{6} = \frac{13}{3}$

$E(X) \cdot E(Y) = 2 \cdot 2 = 4 = \frac{12}{3}$

$E(XY) = \frac{13}{3} \neq \frac{12}{3} = E(X) \cdot E(Y)$

3. 最終的な答え

(1) 独立ではない。

(2) $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$ は成り立つ。$E(XY) = E(X) \cdot E(Y)$ は成り立たない。