A, B, Cの3人がそれぞれサイコロを1個振る。以下の確率を求めよ。 (1) 3人とも同じ目が出る確率 (2) 3人とも互いに異なる目が出る確率 (3) 3人が出した目の積が3の倍数になる確率 (4) 3人が出した目の積が6の倍数になる確率

1. 問題の内容

A, B, Cの3人がそれぞれサイコロを1個振る。以下の確率を求めよ。

(1) 3人とも同じ目が出る確率

(2) 3人とも互いに異なる目が出る確率

(3) 3人が出した目の積が3の倍数になる確率

(4) 3人が出した目の積が6の倍数になる確率

2. 解き方の手順

(1) 3人とも同じ目が出る確率

Aがどの目を出しても良いので、Aの目の出方は6通り。

BとCはAと同じ目を出す必要があるので、それぞれ1通り。

よって、3人とも同じ目が出る目の出方は6通り。

サイコロの目の出方は全体で $6^3 = 216$ 通りなので、確率は

$\frac{6}{216} = \frac{1}{36}$

(2) 3人とも互いに異なる目が出る確率

Aはどの目を出しても良いので6通り。

BはAと異なる目を出す必要があるので5通り。

CはA, Bと異なる目を出す必要があるので4通り。

よって、3人とも互いに異なる目が出る目の出方は $6 \times 5 \times 4 = 120$ 通り。

確率は $\frac{120}{216} = \frac{5}{9}$

(3) 3人が出した目の積が3の倍数になる確率

3人の目の積が3の倍数にならないのは、3人とも3の倍数でない目（1,2,4,5）を出すとき。

その確率は $\frac{4}{6} \times \frac{4}{6} \times \frac{4}{6} = \frac{64}{216} = \frac{8}{27}$

よって、3人の目の積が3の倍数になる確率は $1 - \frac{8}{27} = \frac{19}{27}$

(4) 3人が出した目の積が6の倍数になる確率

3人の目の積が6の倍数にならない場合を考える。

6の倍数になるのは、少なくとも１つ偶数と３の倍数が出るとき。

(i) 3の倍数が一つも出ないとき。

3の倍数でないのは1,2,4,5。このとき、偶数が一つでもあれば良い。

$2,4$ が偶数なので、$1,5$ が奇数。

3人とも奇数が出たら6の倍数にはならない。

その確率は $(\frac{2}{6})^3 = \frac{8}{216} = \frac{1}{27}$

3の倍数が出ず、一つでも偶数が出る確率　$\frac{8}{27} - \frac{1}{27} = \frac{7}{27}$

(ii) 偶数が一つも出ないとき

3人とも奇数が出るとき。

1,3,5 のうち、3の倍数は3。

3人が奇数で、3の倍数でない場合 $(\frac{2}{6})^3 = \frac{8}{216} = \frac{1}{27}$

3人が奇数で、少なくとも一つ3の倍数が出る確率 $\frac{1}{8} - \frac{1}{27} = \frac{19}{216}$

(i)または(ii)のとき6の倍数にならない。

$\frac{7}{27} + \frac{19}{216} = \frac{56+19}{216} = \frac{75}{216} = \frac{25}{72}$

よって、6の倍数になる確率は $1 - \frac{25}{72} = \frac{47}{72}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{36}$

(2) $\frac{5}{9}$

(3) $\frac{19}{27}$

(4) $\frac{47}{72}$