10冊の異なる本を、以下の方法で分ける場合の数を求める。 (1) 5冊ずつA, Bの2人に分ける。 (2) 5冊ずつ2組に分ける。

1. 問題の内容

10冊の異なる本を、以下の方法で分ける場合の数を求める。

(1) 5冊ずつA, Bの2人に分ける。

(2) 5冊ずつ2組に分ける。

2. 解き方の手順

(1) 10冊の本からAさんに渡す5冊を選ぶ組み合わせの数を求める。残りの5冊はBさんに渡されるので、これは組み合わせの問題として解ける。

組み合わせの公式は、 $n$ 個のものから $r$ 個を選ぶ場合の数を示す $C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ である。

したがって、Aさんに渡す5冊を選ぶ組み合わせの数は、 $C(10,5)$ で計算される。

$C(10,5) = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$

(2) 10冊の本から5冊ずつ2組に分ける。まず1組目の5冊を選ぶ組み合わせの数は、(1)と同様に $C(10,5) = 252$ である。ただし、この場合、2つの組に名前がついていないため、組み合わせが重複して数えられている。例えば、Aという5冊の組とBという5冊の組に分けた場合と、Bという5冊の組とAという5冊の組に分けた場合は同じ分け方とみなされる。そのため、(1)の結果を2で割る必要がある。

ただし、この場合、計算する際に、割り切れない場合が発生する可能性があるため、以下の様に考える。

まず1組目の5冊を選び、残りの5冊を2組目とする。この時、2つの組に区別がないので、2で割る必要がある。よって、$C(10,5)/2 = 252/2 = 126$ 通りとなる。

3. 最終的な答え

(1) 252通り

(2) 126通り