袋の中に青玉7個、赤玉3個が入っている。取り出した玉は元に戻さないとして、以下の確率を求める。 (1) 4回目に初めて赤玉が出る確率 (2) 8回目が終わった時点で、赤玉がすべて取り出されている確率 (3) ちょうど8回目で赤玉がすべて取り出される確率

1. 問題の内容

袋の中に青玉7個、赤玉3個が入っている。取り出した玉は元に戻さないとして、以下の確率を求める。

(1) 4回目に初めて赤玉が出る確率

(2) 8回目が終わった時点で、赤玉がすべて取り出されている確率

(3) ちょうど8回目で赤玉がすべて取り出される確率

2. 解き方の手順

(1) 4回目に初めて赤玉が出る確率

3回目までは青玉が出て、4回目に赤玉が出る確率を計算する。

1回目に青玉が出る確率は $\frac{7}{10}$

2回目に青玉が出る確率は $\frac{6}{9}$

3回目に青玉が出る確率は $\frac{5}{8}$

4回目に赤玉が出る確率は $\frac{3}{7}$

よって、求める確率は

$\frac{7}{10} \times \frac{6}{9} \times \frac{5}{8} \times \frac{3}{7} = \frac{630}{5040} = \frac{1}{8}$

(2) 8回目が終わった時点で、赤玉がすべて取り出されている確率

8回目が終わった時点で赤玉がすべて取り出されているということは、1回目から8回目までに3個の赤玉が出ているということ。つまり、8回のうち3回が赤玉、5回が青玉である確率を求める。

全事象は10個から8個を取り出す順列なので$_{10}P_8 = \frac{10!}{2!}$通り。

赤玉3個、青玉5個の取り出し方は、$\frac{8!}{3!5!}$ で並び方が決まる。

よって、確率を計算するには、組み合わせの考え方を用いるのが適切である。

全事象は、10個から8個を取り出す組み合わせなので $_{10}C_8 = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 \times 9}{2} = 45$通り。

赤玉3個、青玉5個を取り出す組み合わせは、青玉7個から5個を選ぶ組み合わせなので $_{7}C_5 = \frac{7!}{5!2!} = \frac{7 \times 6}{2} = 21$通り。

よって、求める確率は $\frac{_{7}C_5}{_{10}C_8} = \frac{21}{45} = \frac{7}{15}$

(3) ちょうど8回目で赤玉がすべて取り出される確率

8回目に3個目の赤玉が出る確率を求める。

7回目までに赤玉が2個、青玉が5個出て、8回目に赤玉が出る確率を計算する。

7回目までに赤玉2個、青玉5個が出る確率は $\frac{_{3}C_2 \times _{7}C_5}{_{10}C_7} = \frac{3 \times 21}{\frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1}} = \frac{63}{120} = \frac{21}{40}$

8回目に赤玉が出る確率は $\frac{1}{3}$

よって、求める確率は $\frac{21}{40} \times \frac{1}{3} = \frac{7}{40}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{8}$

(2) $\frac{7}{15}$

(3) $\frac{7}{40}$