$n$ 人でじゃんけんを1回行う。各人がグー、チョキ、パーを出す確率はそれぞれ $\frac{1}{3}$ である。あいことは、じゃんけんで勝者が1人もいない状態のこととする。 (1) $n=3$ のとき、あいことなる確率を求めよ。 (2) $n=4$ のとき、勝者が1人である確率、および勝者が2人である確率をそれぞれ求めよ。 (3) $n=3, 4, 5, \dots$ のとき、あいことなる確率を $n$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

$n$ 人でじゃんけんを1回行う。各人がグー、チョキ、パーを出す確率はそれぞれ $\frac{1}{3}$ である。あいことは、じゃんけんで勝者が1人もいない状態のこととする。

(1) $n=3$ のとき、あいことなる確率を求めよ。

(2) $n=4$ のとき、勝者が1人である確率、および勝者が2人である確率をそれぞれ求めよ。

(3) $n=3, 4, 5, \dots$ のとき、あいことなる確率を $n$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) $n=3$ のとき

あいことなるのは、全員が同じ手を出す場合と、全員が異なる手を出す場合である。

全員が同じ手を出す確率は、 $3 \times (\frac{1}{3})^3 = \frac{3}{27} = \frac{1}{9}$。

全員が異なる手を出す確率は、$3! \times (\frac{1}{3})^3 = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}$。

よって、あいことなる確率は $\frac{1}{9} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$。

(2) $n=4$ のとき

勝者が1人である確率：

まず、誰が勝つかを選ぶ。4人の中から1人選ぶので ${}_4C_1 = 4$ 通り。

次に、勝つ手を選ぶ。グー、チョキ、パーの3通り。

残りの3人は、選ばれた手に負ける手を出す必要がある。これは1通りに決まる。

したがって、勝者が1人である確率は $4 \times 3 \times (\frac{1}{3})^4 = \frac{12}{81} = \frac{4}{27}$。

勝者が2人である確率：

まず、誰が勝つかを選ぶ。4人の中から2人選ぶので ${}_4C_2 = 6$ 通り。

次に、勝つ手を選ぶ。グー、チョキ、パーの3通り。

残りの2人は、選ばれた手に負ける手を出す必要がある。これは1通りに決まる。

したがって、勝者が2人である確率は $6 \times 3 \times (\frac{1}{3})^4 = \frac{18}{81} = \frac{2}{9}$。

(3) $n$ 人のとき、あいことなる確率

あいことなるのは、全員が同じ手を出す場合と、少なくとも2種類の手が出る場合である。

全員が同じ手を出す確率は $3 \times (\frac{1}{3})^n = (\frac{1}{3})^{n-1}$。

全員が同じ手ではないとき、あいこになるのは、全員が異なる手を出す場合ではない。

あいことなるのは、全員が同じ手ではない、かつ勝者がいない場合である。

全員の手の出し方の総数は $3^n$ 通り。

勝者がいない場合、全員が同じ手を出すか、2種類または3種類の手が出ているが、特定の手に対して「勝つ」人がいない状態である。

これは、「ある手を出す人の集合」に対して、その手に「勝つ」人がいない、という条件と等価である。

全員が同じ手の確率はすでに計算済み。

全員の手がバラバラということはありえない（$n \geq 3$）。

したがって、3種類の手が出る場合のみ考える。

$i$ 種類の人がいるとき、あいこになる確率を $P(i)$ とおくと

$P(1) = (\frac{1}{3})^{n-1}$

$P(2) = \frac{1}{3^n} \sum_{k=0}^{n} {}_nC_k$

$P(3) = ?$

全員が同じ手を出す確率は $(\frac{1}{3})^{n-1}$。

3種類の手が出た場合、$3^n$ 通りの手の出し方から勝者がいる場合を除けばよい。

全体から勝者がいる場合を引くことを考える。

勝者がいる場合は、全体からあいこになる場合を引けば良い。

あいこになるのは、全員の手が同じか、2種類以上の手が出て勝者がいないかのどちらか。

全員の手が同じ確率は $(\frac{1}{3})^{n-1}$。

全員の手が異なる場合は、$n \geq 3$ なのでありえない。

あいこになる確率は、全体から勝者がいる確率を引けば良い。

勝者がいる確率は $1 - (\text{あいこになる確率})$ なので、

あいこになる確率を $P_n$ とすると、

$P_n = 1 - ($勝者がいる確率$)$

$P_n = \frac{1}{3^{n-1}} \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k (-1)^k 2^{n-k}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{3}$

(2) 勝者が1人である確率: $\frac{4}{27}$

勝者が2人である確率: $\frac{2}{9}$

(3) $\frac{1}{3^{n-1}} \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k (-1)^k 2^{n-k}$