8人の生徒を、以下の条件で組分けする方法の数をそれぞれ求めます。 (1) 4人、3人、1人の3組に分ける。 (2) 4人、4人の2つの組A, Bに分ける。 (3) 4人、4人の2組に分ける。 (4) 4人、2人、2人の3組に分ける。 (5) 2人、2人、2人、2人の4組に分ける。

1. 問題の内容

8人の生徒を、以下の条件で組分けする方法の数をそれぞれ求めます。

(1) 4人、3人、1人の3組に分ける。

(2) 4人、4人の2つの組A, Bに分ける。

(3) 4人、4人の2組に分ける。

(4) 4人、2人、2人の3組に分ける。

(5) 2人、2人、2人、2人の4組に分ける。

2. 解き方の手順

(1) 4人、3人、1人の3組に分ける場合

まず、8人から4人を選ぶ組み合わせは $_8C_4$通り。

次に、残りの4人から3人を選ぶ組み合わせは $_4C_3$通り。

最後に、残りの1人から1人を選ぶ組み合わせは $_1C_1$通り。

よって、求める場合の数は、

$_8C_4 \times _4C_3 \times _1C_1 = \frac{8!}{4!4!} \times \frac{4!}{3!1!} \times \frac{1!}{1!0!} = 70 \times 4 \times 1 = 280$通り。

(2) 4人、4人の2つの組A, Bに分ける場合

まず、8人から組Aの4人を選ぶ組み合わせは $_8C_4$通り。

次に、残りの4人は自動的に組Bに入る。

よって、求める場合の数は、

$_8C_4 = \frac{8!}{4!4!} = 70$通り。

(3) 4人、4人の2組に分ける場合

(2)と同様に、まず8人から4人を選ぶ組み合わせは $_8C_4$通り。

しかし、組に区別がないため、A,Bの区別をなくすために2!で割る。

よって、求める場合の数は、

$\frac{_8C_4}{2!} = \frac{70}{2} = 35$通り。

(4) 4人、2人、2人の3組に分ける場合

まず、8人から4人を選ぶ組み合わせは $_8C_4$通り。

次に、残りの4人から2人を選ぶ組み合わせは $_4C_2$通り。

最後に、残りの2人から2人を選ぶ組み合わせは $_2C_2$通り。

ただし、2人の組が2つあるため、2!で割る必要がある。

よって、求める場合の数は、

$_8C_4 \times _4C_2 \times _2C_2 \div 2! = \frac{8!}{4!4!} \times \frac{4!}{2!2!} \times \frac{2!}{2!0!} \div 2! = 70 \times 6 \times 1 \div 2 = 210$通り。

(5) 2人、2人、2人、2人の4組に分ける場合

まず、8人から2人を選ぶ組み合わせは $_8C_2$通り。

次に、残りの6人から2人を選ぶ組み合わせは $_6C_2$通り。

次に、残りの4人から2人を選ぶ組み合わせは $_4C_2$通り。

最後に、残りの2人から2人を選ぶ組み合わせは $_2C_2$通り。

ただし、2人の組が4つあるため、4!で割る必要がある。

よって、求める場合の数は、

$_8C_2 \times _6C_2 \times _4C_2 \times _2C_2 \div 4! = \frac{8!}{2!6!} \times \frac{6!}{2!4!} \times \frac{4!}{2!2!} \times \frac{2!}{2!0!} \div 4! = 28 \times 15 \times 6 \times 1 \div 24 = 630 \div 4 = \frac{630}{4}$

計算間違いがある。

別の方法で考える。

8人を2人ずつ4組に分ける。

まず、8人の中から1人を固定して考える。

その人と同じ組になる相手は7通り。

次に、残りの6人の中から1人を固定して考える。

その人と同じ組になる相手は5通り。

次に、残りの4人の中から1人を固定して考える。

その人と同じ組になる相手は3通り。

最後に、残りの2人は自動的に同じ組になるので1通り。

よって、求める場合の数は、

$7 \times 5 \times 3 \times 1 = 105$通り。

3. 最終的な答え

(1) 280通り

(2) 70通り

(3) 35通り

(4) 210通り

(5) 105通り