A, B, Cの3人がそれぞれサイコロを1個振る。このとき、以下の確率を求めよ。 (1) 3人とも同じ目が出る確率 (2) 3人とも互いに異なる目が出る確率 (3) 3人が出した目の積が3の倍数になる確率 (4) 3人が出した目の積が6の倍数になる確率

1. 問題の内容

A, B, Cの3人がそれぞれサイコロを1個振る。このとき、以下の確率を求めよ。

(1) 3人とも同じ目が出る確率

(2) 3人とも互いに異なる目が出る確率

(3) 3人が出した目の積が3の倍数になる確率

(4) 3人が出した目の積が6の倍数になる確率

2. 解き方の手順

(1) 3人とも同じ目が出る確率

Aがどんな目を出しても良いので、BとCがAと同じ目を出す確率を考えれば良い。

BがAと同じ目を出す確率は $\frac{1}{6}$。

CがAと同じ目を出す確率は $\frac{1}{6}$。

よって、求める確率は

$\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$

(2) 3人とも互いに異なる目が出る確率

Aがどんな目を出しても良い。

BがAと異なる目を出す確率は $\frac{5}{6}$。

CがA, Bと異なる目を出す確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$。

よって、求める確率は

$\frac{5}{6} \times \frac{4}{6} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}$

(3) 3人が出した目の積が3の倍数になる確率

3人のうち少なくとも1人が3または6の目を出せばよい。

3の倍数の目が出ない確率を考えると、3の倍数が出ない確率は$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$。

3人とも3の倍数が出ない確率は

$(\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}$

したがって、3人のうち少なくとも1人が3の倍数を出す確率は

$1 - \frac{8}{27} = \frac{19}{27}$

(4) 3人が出した目の積が6の倍数になる確率

3人の積が6の倍数になるのは、次のいずれかの場合である。

* 3人の中に、少なくとも1つ6の目が出る

* 3人の中に、少なくとも1つ3の目が出て、かつ、少なくとも1つ偶数の目が出る

まず、全体から6の倍数にならない場合を引くことを考える。

積が6の倍数にならないのは、以下のいずれかである。

1. 3の倍数が出ない。この確率は$(\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}$。

2. 3の倍数は出るが、偶数が出ない。つまり、全員が奇数で、かつ少なくとも1つ3が出る。

全員が奇数の確率は $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$。

全員が奇数で、かつ3の倍数が出ないのは全員が1か5である確率なので、$(\frac{2}{6})^3 = (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$。

全員が奇数で、かつ少なくとも1つ3が出る確率は $\frac{1}{8} - \frac{1}{27} = \frac{27 - 8}{216} = \frac{19}{216}$。

したがって、積が6の倍数になる確率は

$1 - \frac{8}{27} - \frac{19}{216} = \frac{216 - 64 - 19}{216} = \frac{133}{216}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{36}$

(2) $\frac{5}{9}$

(3) $\frac{19}{27}$

(4) $\frac{133}{216}$