袋の中に赤玉1個、青玉1個、白玉2個の合計4個の玉が入っている。 玉を1個取り出し、色を確認後、元に戻す試行を繰り返す。 以下のいずれかを満たしたら試行を終了する。 - 赤玉を1回取り出す - 青玉を2回取り出す - 白玉を3回取り出す 試行を終了するまでに玉を取り出した回数を $X$ とする。 (1) $X=1$ となる確率を求めよ。 (2) 2回の試行で青玉を2回取り出して試行を終了する確率を求めよ。また、$X=2$ となる確率を求めよ。 (3) $X=4$ となる確率を求めよ。また、$X$ の期待値を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉1個、青玉1個、白玉2個の合計4個の玉が入っている。

玉を1個取り出し、色を確認後、元に戻す試行を繰り返す。

以下のいずれかを満たしたら試行を終了する。

- 赤玉を1回取り出す

- 青玉を2回取り出す

- 白玉を3回取り出す

試行を終了するまでに玉を取り出した回数を $X$ とする。

(1) $X=1$ となる確率を求めよ。

(2) 2回の試行で青玉を2回取り出して試行を終了する確率を求めよ。また、$X=2$ となる確率を求めよ。

(3) $X=4$ となる確率を求めよ。また、$X$ の期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $X=1$ となるのは、1回目に赤玉を取り出すとき。

赤玉を取り出す確率は $\frac{1}{4}$。

(2) 2回の試行で青玉を2回取り出して試行を終了する確率を求める。

1回目、2回目ともに青玉を取り出す確率なので、$\frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$

$X=2$となるのは、以下のいずれかの場合。

- 青青：青玉を2回取り出す。確率は $\frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$

- 赤x, x赤: 1回目赤玉の場合$X=1$なので不適。

- 白赤、青赤:

- 白青、青白: 白,青の順番で取り出すと$X=2$になる。

$P(白青)+P(青白)=\frac{2}{4}\times\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\times\frac{2}{4}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$

$X=2$となる確率は、青青、白青、青白の確率の合計。

$\frac{1}{16} + \frac{1}{4} = \frac{1}{16} + \frac{4}{16} = \frac{5}{16}$

(3) $X=4$となるのは、3回目までに赤玉が出ず、青玉が2回出ず、白玉が3回出ないで、4回目で終了する場合を考える。

$X=4$で終了するのは、4回目に赤玉が出る場合、青玉が2回目になる場合、白玉が3回目になる場合のいずれかである。

確率変数を順に並べて考える。

白白白：$X=3$で終了

青青：$X=2$で終了

赤：$X=1$で終了

これら以外を考える。

$X=4$となる場合

- 白白青赤

- 白青白赤

- 青白白赤

- 白白赤青

- 白赤白青

- 赤白白青

- 白青青

- 青白青

- 青青白

$P(X=4) = P(白白青)+P(白青白)+P(青白白) * \frac{1}{4}$ or $P(白白赤)+P(白赤白)+P(赤白白) * \frac{1}{4}$

1. 3回目までに赤、青が最大数まで出ない。かつ、4回目で赤、青、白が出て終了する。

2. $X$の取りうる値は1,2,3です。よって$P(X=4)=0$です。

Xの期待値

$E(X) = 1 * P(X=1) + 2 * P(X=2) + 3 * P(X=3)$

$P(X=1) = \frac{1}{4}$

$P(X=2) = \frac{5}{16}$

$X=3$となるのは、

- 白白白: $\frac{2}{4} \times \frac{2}{4} \times \frac{2}{4} = \frac{8}{64} = \frac{1}{8}$

- 赤x x, x赤 x, x x 赤 (xは赤以外)

- 青青

$P(X=3)=1-P(X=1)-P(X=2)=\frac{64}{64}-\frac{16}{64}-\frac{20}{64}=\frac{28}{64} = \frac{7}{16}$

$E(X) = 1 * \frac{1}{4} + 2 * \frac{5}{16} + 3 * \frac{7}{16} = \frac{4}{16} + \frac{10}{16} + \frac{21}{16} = \frac{35}{16}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{4}$

(2) $\frac{1}{16}$, $\frac{5}{16}$

(3) 0, $\frac{35}{16}$