問題は以下の通りです。 11. (1) 8枚の絵はがきから5枚を選ぶ方法は何通りあるか。 (2) 1枚の硬貨を10回投げるとき、表が3回出る場合は何通りあるか。 12. 6本の平行線と、それらに交わる4本の平行線とによってできる平行四辺形は何個あるか。 13. 正七角形について、次の数を求めよ。 (1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数 (2) 4個の頂点を結んでできる四角形の個数 (3) 対角線の本数 (4) 7角形と1辺だけ共有している三角形の個数 (5) 7角形と辺を共有していない三角形の個数

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

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1. (1) 8枚の絵はがきから5枚を選ぶ方法は何通りあるか。

(2) 1枚の硬貨を10回投げるとき、表が3回出る場合は何通りあるか。

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2. 6本の平行線と、それらに交わる4本の平行線とによってできる平行四辺形は何個あるか。

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3. 正七角形について、次の数を求めよ。

(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数

(2) 4個の頂点を結んでできる四角形の個数

(3) 対角線の本数

(4) 7角形と1辺だけ共有している三角形の個数

(5) 7角形と辺を共有していない三角形の個数

2. 解き方の手順

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1. (1) 8枚から5枚を選ぶ組み合わせなので、組み合わせの公式を用います。

$_8C_5 = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

(2) 10回中3回表が出る組み合わせなので、二項係数を使います。

$_{10}C_3 = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$

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2. 平行四辺形を作るには、6本の中から2本、4本の中から2本を選ぶ必要があります。

$_6C_2 \times _4C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 15 \times 6 = 90$

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3. (1) 7個の頂点から3個を選ぶ組み合わせなので、

$_7C_3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

(2) 7個の頂点から4個を選ぶ組み合わせなので、

$_7C_4 = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

(3) 対角線の本数は、7個の頂点から2個を選び、そこから辺の数を引きます。

$_7C_2 - 7 = \frac{7 \times 6}{2} - 7 = 21 - 7 = 14$

(4) 1辺を共有する三角形の数は、共有する辺の両端の頂点を除いた頂点から1つ選ぶ。辺の数は7なので、

$7 \times (7-4) = 7 \times 3 = 21$

(5) 辺を共有しない三角形の数は、全体の三角形の数から、1辺を共有する三角形の数と2辺を共有する三角形の数を引けば良い。

2辺を共有する三角形の数は7個

よって$35 - 21 - 7 = 7$

3. 最終的な答え

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1. (1) 56通り

(2) 120通り

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2. 90個

1

3. (1) 35個

(2) 35個

(3) 14本

(4) 21個

(5) 7個