1個のサイコロを投げ、出た目が4以上であれば3点、そうでなければ1点とする得点をXとする。出た目が偶数であれば3点、そうでなければ1点とする得点をYとする。 (1) 確率変数X, Yは独立であるか。 (2) $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$ および $E(XY) = E(X) \cdot E(Y)$はそれぞれ成り立つか。

1. 問題の内容

1個のサイコロを投げ、出た目が4以上であれば3点、そうでなければ1点とする得点をXとする。出た目が偶数であれば3点、そうでなければ1点とする得点をYとする。

(1) 確率変数X, Yは独立であるか。

(2) $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$ および $E(XY) = E(X) \cdot E(Y)$はそれぞれ成り立つか。

2. 解き方の手順

(1) XとYが独立であるか確認する。XとYが独立であるとは、Xの値がYの確率分布に影響を与えないことを意味する。具体的には、すべての$x$と$y$について、$P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)$ が成立する必要がある。

Xの値: 1, 3

Yの値: 1, 3

Xの確率分布:

$P(X=3)$ = 4, 5, 6の目が出る確率 = $3/6 = 1/2$

$P(X=1)$ = 1, 2, 3の目が出る確率 = $3/6 = 1/2$

Yの確率分布:

$P(Y=3)$ = 2, 4, 6の目が出る確率 = $3/6 = 1/2$

$P(Y=1)$ = 1, 3, 5の目が出る確率 = $3/6 = 1/2$

同時確率分布:

$P(X=3, Y=3)$ = 4, 6の目が出る確率 = $2/6 = 1/3$

$P(X=3, Y=1)$ = 5の目が出る確率 = $1/6$

$P(X=1, Y=3)$ = 2の目が出る確率 = $1/6$

$P(X=1, Y=1)$ = 1, 3の目が出る確率 = $2/6 = 1/3$

$P(X=3)P(Y=3) = (1/2)(1/2) = 1/4$

$P(X=3, Y=3) = 1/3$

$1/3 \neq 1/4$ であるため、XとYは独立ではない。

(2)

$E(X) = 3(1/2) + 1(1/2) = 4/2 = 2$

$E(Y) = 3(1/2) + 1(1/2) = 4/2 = 2$

X+Yの値とその確率:

X+Y = 6: 4, 6 の目 -> $P(X+Y=6) = 2/6 = 1/3$

X+Y = 4: 2, 5 の目 -> $P(X+Y=4) = 2/6 = 1/3$

X+Y = 2: 1, 3 の目 -> $P(X+Y=2) = 2/6 = 1/3$

$E(X+Y) = 6(1/3) + 4(1/3) + 2(1/3) = 12/3 = 4$

$E(X) + E(Y) = 2 + 2 = 4$

よって、$E(X+Y) = E(X) + E(Y)$は成り立つ。

XYの値とその確率:

XY = 9: 4, 6の目 -> $P(XY=9) = 2/6 = 1/3$

XY = 3: 2, 5の目 -> $P(XY=3) = 2/6 = 1/3$

XY = 1: 1, 3の目 -> $P(XY=1) = 2/6 = 1/3$

$E(XY) = 9(1/3) + 3(1/3) + 1(1/3) = 13/3$

$E(X) \cdot E(Y) = 2 \cdot 2 = 4 = 12/3$

$13/3 \neq 12/3$ であるため、$E(XY) = E(X) \cdot E(Y)$は成り立たない。

3. 最終的な答え

(1) 独立ではない。

(2) $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$は成り立つ。$E(XY) = E(X) \cdot E(Y)$は成り立たない。