確率変数 $Z$ が標準正規分布 $N(0, 1)$ に従うとき、以下の式を満たす $k$ の値を求める問題です。ただし、$k > 0$ とします。 (1) $P(-k \le Z \le k) = 0.8$ (2) $P(Z \le k) = 0.8$

1. 問題の内容

確率変数 $Z$ が標準正規分布 $N(0, 1)$ に従うとき、以下の式を満たす $k$ の値を求める問題です。ただし、$k > 0$ とします。

(1) $P(-k \le Z \le k) = 0.8$

(2) $P(Z \le k) = 0.8$

2. 解き方の手順

(1) $P(-k \le Z \le k) = 0.8$ について

標準正規分布は原点に関して対称なので、

$P(0 \le Z \le k) = \frac{0.8}{2} = 0.4$

となります。

標準正規分布表から、$P(0 \le Z \le k) = 0.4$ となる $k$ の値を読み取ります。表から $k \approx 1.28$ となります。

(2) $P(Z \le k) = 0.8$ について

標準正規分布表から、$P(Z \le k) = 0.8$ となる $k$ の値を読み取ります。標準正規分布表では、$P(0 \le Z \le z) = p$ となる $z$ の値が記載されているので、$P(Z \le k) = 0.8$となる$k$を求めるには、

$P(Z \le 0) = 0.5$より、$P(0 \le Z \le k) = 0.8 - 0.5 = 0.3$となる$k$を求めればよい。標準正規分布表から$k \approx 0.84$

3. 最終的な答え

(1) $k \approx 1.28$

(2) $k \approx 0.84$