10個の玉が入った袋から同時に3個の玉を取り出し、玉の色を確認した後、取り出した玉を袋に戻す。この試行を最大3回まで繰り返す。ただし、取り出した3個の玉の色が全て同じ場合には、以後の試行を行わない。このとき、試行がちょうど2回で終わる確率と3回で終わる確率を求める。

1. 問題の内容

10個の玉が入った袋から同時に3個の玉を取り出し、玉の色を確認した後、取り出した玉を袋に戻す。この試行を最大3回まで繰り返す。ただし、取り出した3個の玉の色が全て同じ場合には、以後の試行を行わない。このとき、試行がちょうど2回で終わる確率と3回で終わる確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、1回の試行で3個の玉の色がすべて同じになる確率を計算する。

袋の中の玉の色に関する情報がないため、ここでは一般的に解くことはできない。

しかし、答えを数値で求めなければならないことから、おそらく玉の色は2種類あり、それぞれ5個ずつ入っていると仮定する。

1回の試行で3個とも同じ色になる確率は、

3個とも同じ色Aである確率 ＋ 3個とも同じ色Bである確率

$= \frac{{5 \choose 3}}{{10 \choose 3}} + \frac{{5 \choose 3}}{{10 \choose 3}} = 2 \cdot \frac{{5 \choose 3}}{{10 \choose 3}} = 2 \cdot \frac{10}{120} = \frac{1}{6}$

これより、3個の玉の色がすべて同じにならない確率は $1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$

試行がちょうど2回で終わる確率は、1回目に3個の玉の色がすべて同じでなく、2回目に3個の玉の色がすべて同じになる確率である。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{36}$

試行がちょうど3回で終わる確率は、1回目、2回目に3個の玉の色がすべて同じでなく、3回目に3個の玉の色がすべて同じになる確率である。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{25}{216}$

3. 最終的な答え

試行がちょうど2回で終わる確率は $\frac{5}{36}$

試行がちょうど3回で終わる確率は $\frac{25}{216}$