多項式 $P(x)$ を $x-1$ で割った余りが3、$x+2$ で割った余りが6である。$P(x)$ を $(x-1)(x+2)$ で割った余りを求めよ。

1. 問題の内容

多項式 $P(x)$ を $x-1$ で割った余りが3、$x+2$ で割った余りが6である。$P(x)$ を $(x-1)(x+2)$ で割った余りを求めよ。

2. 解き方の手順

$P(x)$ を $(x-1)(x+2)$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $ax+b$ とすると、

$P(x) = (x-1)(x+2)Q(x) + ax + b$ と表せる。

問題文より、

$P(1) = 3$

$P(-2) = 6$

これらを代入すると、

$P(1) = (1-1)(1+2)Q(1) + a(1) + b = a + b = 3$

$P(-2) = (-2-1)(-2+2)Q(-2) + a(-2) + b = -2a + b = 6$

連立方程式

$a + b = 3$

$-2a + b = 6$

を解く。2式を引き算すると

$(a+b) - (-2a+b) = 3-6$

$3a = -3$

$a = -1$

$a + b = 3$ に $a = -1$ を代入すると、

$-1 + b = 3$

$b = 4$

したがって、余りは $-x + 4$ となる。

3. 最終的な答え

$-x+4$