実数係数の2次式 $f(x) = ax^2 + bx$ に対し、$f(1)$ と $f(2)$ が整数であるとき、すべての整数 $n$ に対して $f(n)$ が整数であることを証明する。

1. 問題の内容

実数係数の2次式 $f(x) = ax^2 + bx$ に対し、$f(1)$ と $f(2)$ が整数であるとき、すべての整数 $n$ に対して $f(n)$ が整数であることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、$f(1)$ と $f(2)$ の条件から、$a$ と $b$ の関係を求める。

$f(1) = a(1)^2 + b(1) = a + b$

$f(2) = a(2)^2 + b(2) = 4a + 2b$

$f(1)$ と $f(2)$ が整数なので、$a + b$ と $4a + 2b$ は整数である。

ここで、$f(2) - 2f(1) = (4a + 2b) - 2(a + b) = 2a$ となる。

$f(2) - 2f(1)$ は整数の演算なので、$2a$ も整数である。つまり、$2a$ は整数である。

次に、任意の整数 $n$ に対して $f(n) = an^2 + bn$ が整数であることを示す。

$f(n) = an^2 + bn = a n^2 + (f(1) - a)n = an^2 - an + f(1)n = a(n^2 - n) + f(1)n$

$n^2 - n = n(n-1)$ は常に偶数であるため、$n(n-1) = 2k$ （$k$ は整数）と書ける。

したがって、$a(n^2 - n) = a(2k) = 2ak$ となる。

$2a$ は整数なので、$2ak$ も整数である。

また、$f(1)$ は整数で、$n$ は整数なので、$f(1)n$ は整数である。

したがって、$f(n) = 2ak + f(1)n$ は整数である。（整数の和は整数）

3. 最終的な答え

すべての整数 $n$ に対して、$f(n)$ が整数であることが示された。