与えられた多項式を多項式 $B$ で割ったときの商と余りが与えられているので、$B$ を求めます。3つの問題があります。 (1) $x^3 - x^2 + 3x + 1$ を $B$ で割ると、商が $x+1$, 余りが $3x-1$ (2) $6x^4 + 7x^3 - 9x^2 - x + 2$ を $B$ で割ると、商が $2x^2 + x - 3$, 余りが $6x-1$ (3) $x^4 - 6x^2 + 2x + 8$ を $B$ で割ると、商が $B$, 余りが $2x-1$

1. 問題の内容

与えられた多項式を多項式 $B$ で割ったときの商と余りが与えられているので、$B$ を求めます。3つの問題があります。

(1) $x^3 - x^2 + 3x + 1$ を $B$ で割ると、商が $x+1$, 余りが $3x-1$

(2) $6x^4 + 7x^3 - 9x^2 - x + 2$ を $B$ で割ると、商が $2x^2 + x - 3$, 余りが $6x-1$

(3) $x^4 - 6x^2 + 2x + 8$ を $B$ で割ると、商が $B$, 余りが $2x-1$

2. 解き方の手順

多項式の割り算の基本公式 $P = BQ + R$ (ここで $P$ は割られる多項式, $B$ は割る多項式, $Q$ は商, $R$ は余り)を利用します。

(1) $x^3 - x^2 + 3x + 1 = B(x+1) + (3x-1)$

移項して $x^3 - x^2 + 3x + 1 - (3x-1) = B(x+1)$

$x^3 - x^2 + 2 = B(x+1)$

よって、 $B = \frac{x^3 - x^2 + 2}{x+1}$

筆算を行うと、

$x^3 - x^2 + 2 = (x+1)(x^2 - 2x + 2)$

したがって、$B = x^2 - 2x + 2$

(2) $6x^4 + 7x^3 - 9x^2 - x + 2 = B(2x^2 + x - 3) + (6x-1)$

移項して $6x^4 + 7x^3 - 9x^2 - x + 2 - (6x-1) = B(2x^2 + x - 3)$

$6x^4 + 7x^3 - 9x^2 - 7x + 3 = B(2x^2 + x - 3)$

よって、$B = \frac{6x^4 + 7x^3 - 9x^2 - 7x + 3}{2x^2 + x - 3}$

筆算を行うと、

$6x^4 + 7x^3 - 9x^2 - 7x + 3 = (2x^2 + x - 3)(3x^2 + 2x - 1)$

したがって、$B = 3x^2 + 2x - 1$

(3) $x^4 - 6x^2 + 2x + 8 = B^2 + (2x-1)$

移項して $x^4 - 6x^2 + 2x + 8 - (2x-1) = B^2$

$x^4 - 6x^2 + 9 = B^2$

$(x^2 - 3)^2 = B^2$

したがって、$B = x^2 - 3$

3. 最終的な答え

(1) $B = x^2 - 2x + 2$

(2) $B = 3x^2 + 2x - 1$

(3) $B = x^2 - 3$