与えられた分数の式を簡略化します。 $ \frac{2}{1+a} + \frac{4}{1+a^2} + \frac{2}{1-a} + \frac{8}{1+a^4} $

1. 問題の内容

与えられた分数の式を簡略化します。

$\frac{2}{1+a} + \frac{4}{1+a^2} + \frac{2}{1-a} + \frac{8}{1+a^4}$

2. 解き方の手順

まず、$\frac{2}{1+a} + \frac{2}{1-a}$ を計算します。

$\frac{2}{1+a} + \frac{2}{1-a} = \frac{2(1-a) + 2(1+a)}{(1+a)(1-a)} = \frac{2-2a+2+2a}{1-a^2} = \frac{4}{1-a^2}$

次に、結果を元の式に代入します。

$\frac{4}{1-a^2} + \frac{4}{1+a^2} + \frac{8}{1+a^4}$

$\frac{4}{1-a^2} + \frac{4}{1+a^2} = \frac{4(1+a^2)+4(1-a^2)}{(1-a^2)(1+a^2)} = \frac{4+4a^2+4-4a^2}{1-a^4} = \frac{8}{1-a^4}$

最後に、結果を元の式に代入します。

$\frac{8}{1-a^4} + \frac{8}{1+a^4} = \frac{8(1+a^4)+8(1-a^4)}{(1-a^4)(1+a^4)} = \frac{8+8a^4+8-8a^4}{1-a^8} = \frac{16}{1-a^8}$

3. 最終的な答え

$\frac{16}{1-a^8}$