2次方程式 $x^2 - 2x - 4 = 0$ の2つの解を $a$, $b$ とするとき、以下の値を求めます。 (1) $a+b$ (2) $ab$ (3) $a^2+b^2$

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2x - 4 = 0$ の2つの解を $a$, $b$ とするとき、以下の値を求めます。

(1) $a+b$

(2) $ab$

(3) $a^2+b^2$

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$, $\alpha \beta = \frac{c}{a}$

が成り立ちます。

今回の2次方程式 $x^2 - 2x - 4 = 0$ において、$a=1$, $b=-2$, $c=-4$ です。

(1) $a+b$ を求めます。解と係数の関係より、

$a+b = -\frac{-2}{1} = 2$

(2) $ab$ を求めます。解と係数の関係より、

$ab = \frac{-4}{1} = -4$

(3) $a^2+b^2$ を求めます。$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ より、$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$です。

(1)と(2)の結果を用いると、

$a^2 + b^2 = (2)^2 - 2(-4) = 4 + 8 = 12$

3. 最終的な答え

(1) $a+b = 2$

(2) $ab = -4$

(3) $a^2+b^2 = 12$