(1) $(x^3 + 4 - 3x)(1 - 2x)$ (2) $(x - a)(x - b)(x - c)$ (3) $(x^2 - x + 1)(x^2 - x + 3)$ (4) $(x + 1)(x + 2)(x - 5)(x - 6)$ (5) $(x - 1)(x - 2)(x + 3)(x + 6)$

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1. 問題の内容

1. 次の式を展開し、$x$ について降べきの順に整理する。

(1) $(x^3 + 4 - 3x)(1 - 2x)$

(2) $(x - a)(x - b)(x - c)$

(3) $(x^2 - x + 1)(x^2 - x + 3)$

(4) $(x + 1)(x + 2)(x - 5)(x - 6)$

(5) $(x - 1)(x - 2)(x + 3)(x + 6)$

2. 次の式を因数分解する。

(1) $6x^2 + (3a - 2b)x - ab$

(2) $x^2 + y^2 - 2xy - z^2$

(3) $3x^2 + ax - 2a^2 + 4x - a + 1$

(4) $ab^2 - bc^2 - b^2c - c^2a$

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2. 解き方の手順

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1. 展開と整理

#### (1) $(x^3 + 4 - 3x)(1 - 2x)$

まず、式を展開します。

$(x^3 - 3x + 4)(1 - 2x) = x^3 - 3x + 4 - 2x^4 + 6x^2 - 8x$

次に、降べきの順に整理します。

$-2x^4 + x^3 + 6x^2 - 11x + 4$

#### (2) $(x - a)(x - b)(x - c)$

順に展開します。

$(x - a)(x - b) = x^2 - (a + b)x + ab$

$(x^2 - (a + b)x + ab)(x - c) = x^3 - (a + b)x^2 + abx - cx^2 + (a + b)cx - abc$

降べきの順に整理します。

$x^3 - (a + b + c)x^2 + (ab + bc + ca)x - abc$

#### (3) $(x^2 - x + 1)(x^2 - x + 3)$

$x^2 - x = A$ と置くと、

$(A + 1)(A + 3) = A^2 + 4A + 3$

ここで、$A = x^2 - x$ を代入します。

$(x^2 - x)^2 + 4(x^2 - x) + 3 = x^4 - 2x^3 + x^2 + 4x^2 - 4x + 3 = x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 3$

#### (4) $(x + 1)(x + 2)(x - 5)(x - 6)$

$(x + 1)(x - 5) = x^2 - 4x - 5$

$(x + 2)(x - 6) = x^2 - 4x - 12$

$x^2 - 4x = A$ と置くと、

$(A - 5)(A - 12) = A^2 - 17A + 60$

ここで、$A = x^2 - 4x$ を代入します。

$(x^2 - 4x)^2 - 17(x^2 - 4x) + 60 = x^4 - 8x^3 + 16x^2 - 17x^2 + 68x + 60 = x^4 - 8x^3 - x^2 + 68x + 60$

#### (5) $(x - 1)(x - 2)(x + 3)(x + 6)$

$(x - 1)(x + 3) = x^2 + 2x - 3$

$(x - 2)(x + 6) = x^2 + 4x - 12$

$(x^2 + 2x - 3)(x^2 + 4x - 12) = x^4 + 4x^3 - 12x^2 + 2x^3 + 8x^2 - 24x - 3x^2 - 12x + 36 = x^4 + 6x^3 - 7x^2 - 36x + 36$

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2. 因数分解

#### (1) $6x^2 + (3a - 2b)x - ab$

$6x^2 + 3ax - 2bx - ab = 3x(2x + a) - b(2x + a) = (3x - b)(2x + a)$

#### (2) $x^2 + y^2 - 2xy - z^2$

$(x - y)^2 - z^2 = (x - y + z)(x - y - z)$

#### (3) $3x^2 + ax - 2a^2 + 4x - a + 1$

$3x^2 + (a + 4)x - 2a^2 - a + 1 = 3x^2 + (a + 4)x - (2a - 1)(a + 1)$

$3x^2 + (a + 4)x - (2a - 1)(a + 1) = (3x - (2a - 1))(x + (a + 1)) = (3x - 2a + 1)(x + a + 1)$

#### (4) $ab^2 - bc^2 - b^2c - c^2a$

$ab^2 - bc^2 - b^2c - c^2a = ab^2 - c^2a - bc^2 - b^2c = a(b^2 - c^2) - bc(c + b) = a(b - c)(b + c) - bc(b + c) = (b + c)(a(b - c) - bc) = (b + c)(ab - ac - bc)$

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3. 最終的な答え

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1. 展開と整理

#### (1) $-2x^4 + x^3 + 6x^2 - 11x + 4$

#### (2) $x^3 - (a + b + c)x^2 + (ab + bc + ca)x - abc$

#### (3) $x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 3$

#### (4) $x^4 - 8x^3 - x^2 + 68x + 60$

#### (5) $x^4 + 6x^3 - 7x^2 - 36x + 36$

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2. 因数分解

#### (1) $(3x - b)(2x + a)$

#### (2) $(x - y + z)(x - y - z)$

#### (3) $(3x - 2a + 1)(x + a + 1)$

#### (4) $(b + c)(ab - ac - bc)$