与えられた問題は2つあります。どちらも$R^2$のベクトルに関するものです。 問題3: $R^2$のベクトル$\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{x}$を自分で作り、$\vec{x}$を$\vec{a_1}, \vec{a_2}$の線形結合で表す。 問題4: $R^2$のベクトル$\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3}, \vec{x}$を自分で作り、$\vec{x}$を$\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3}$の線形結合で表す。

1. 問題の内容

与えられた問題は2つあります。どちらも$R^2$のベクトルに関するものです。

問題3: $R^2$のベクトル$\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{x}$を自分で作り、$\vec{x}$を$\vec{a_1}, \vec{a_2}$の線形結合で表す。

問題4: $R^2$のベクトル$\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3}, \vec{x}$を自分で作り、$\vec{x}$を$\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3}$の線形結合で表す。

2. 解き方の手順

問題3:

まず、$\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{x}$を具体的に定めます。

例えば、

$\vec{a_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$,

$\vec{a_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$,

$\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

とします。

次に、$\vec{x}$を$\vec{a_1}, \vec{a_2}$の線形結合で表します。

$\vec{x} = c_1 \vec{a_1} + c_2 \vec{a_2}$となる$c_1, c_2$を求めます。

$\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

したがって、$c_1 = 2, c_2 = 3$となります。

問題4:

$\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3}, \vec{x}$を具体的に定めます。

例えば、

$\vec{a_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$,

$\vec{a_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$,

$\vec{a_3} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$,

$\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

とします。

次に、$\vec{x}$を$\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3}$の線形結合で表します。

$\vec{x} = c_1 \vec{a_1} + c_2 \vec{a_2} + c_3 \vec{a_3}$となる$c_1, c_2, c_3$を求めます。

$\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + c_3 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

この式は、以下の連立方程式と同値です。

$c_1 + c_3 = 2$

$c_2 + c_3 = 3$

$c_1 = 2 - c_3$, $c_2 = 3 - c_3$なので、$c_3$を任意の値に決めると、$c_1$と$c_2$が決まります。

例えば、$c_3 = 0$とすると、$c_1 = 2, c_2 = 3$となります。

3. 最終的な答え

問題3:

$\vec{a_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\vec{a_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$としたとき、

$\vec{x} = 2\vec{a_1} + 3\vec{a_2}$

問題4:

$\vec{a_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\vec{a_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\vec{a_3} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$としたとき、

$\vec{x} = 2\vec{a_1} + 3\vec{a_2} + 0\vec{a_3}$

($c_3$の選び方によって、他の表現も可能です。)