$x = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}}$、 $y = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}$ のとき、$x^2 - 5xy + y^2$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}}$、 $y = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}$ のとき、$x^2 - 5xy + y^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ を簡単にします。$x$ の分母と分子に $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ をかけると、

$x = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{(\sqrt{2} - \sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2}{2 - 3} = \frac{2 + 2\sqrt{6} + 3}{-1} = -5 - 2\sqrt{6}$

同様に、$y$ の分母と分子に $\sqrt{2} - \sqrt{3}$ をかけると、

$y = \frac{(\sqrt{2} - \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3})}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{2} - \sqrt{3})^2}{2 - 3} = \frac{2 - 2\sqrt{6} + 3}{-1} = -5 + 2\sqrt{6}$

次に、$xy$ を計算します。

$xy = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = 1$

また、$x+y = (-5 - 2\sqrt{6}) + (-5 + 2\sqrt{6}) = -10$ となります。

$x^2 - 5xy + y^2$ を $(x+y)^2$ を用いて書き換えます。

$x^2 - 5xy + y^2 = x^2 + 2xy + y^2 - 7xy = (x+y)^2 - 7xy$

$(x+y)^2 = (-10)^2 = 100$

$x^2 - 5xy + y^2 = 100 - 7(1) = 100 - 7 = 93$

3. 最終的な答え

93