与えられた複素数を計算し、その値を求める問題です。具体的には、$\cos(-\frac{10}{3}\pi) + i\sin(-\frac{10}{3}\pi)$ を計算し、$\cos(\frac{2}{3}\pi) + i\sin(\frac{2}{3}\pi)$ と等しいことを示し、最終的な値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた複素数を計算し、その値を求める問題です。具体的には、$\cos(-\frac{10}{3}\pi) + i\sin(-\frac{10}{3}\pi)$ を計算し、$\cos(\frac{2}{3}\pi) + i\sin(\frac{2}{3}\pi)$ と等しいことを示し、最終的な値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$-\frac{10}{3}\pi$ を扱いやすい角度に変換します。

$-\frac{10}{3}\pi = -\frac{12}{3}\pi + \frac{2}{3}\pi = -4\pi + \frac{2}{3}\pi$

$-4\pi$ は $-2$回転を意味し、三角関数の値に影響を与えないため、$\cos(-\frac{10}{3}\pi) = \cos(\frac{2}{3}\pi)$ および $\sin(-\frac{10}{3}\pi) = \sin(\frac{2}{3}\pi)$ が成り立ちます。

次に、$\cos(\frac{2}{3}\pi)$ と $\sin(\frac{2}{3}\pi)$ の値を計算します。

$\frac{2}{3}\pi$ は120度であり、単位円上の座標は $(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ です。

したがって、$\cos(\frac{2}{3}\pi) = -\frac{1}{2}$ と $\sin(\frac{2}{3}\pi) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となります。

これらの値を代入して、複素数の値を求めます。

3. 最終的な答え

$\cos(\frac{2}{3}\pi) + i\sin(\frac{2}{3}\pi) = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$